高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)精品一课一练

4.6函数的应用（二）人教  B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为参考数据：(    )

A.  B.  C.  D.

2. 为了给地球减负，提高资源利用率，年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是参考数据：，(    )

A. 年 B. 年 C. 年 D. 年

3. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

4. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为(    )

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

5. 神舟十二号载人飞船搭载名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为参考数据(    )

A.  B.  C.  D.

6. 根据民用建筑工程室内环境污染控制标准，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工周后室内甲醛浓度为，周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度单位：与竣工后保持良好通风的时间单位：周近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(    )

A. 周 B. 周 C. 周 D. 周

7. 为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于万元的年份是参考数据：，(    )

A. 年 B. 年 C. 年 D. 年

8. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度已知某种鱼失去的新鲜度与其出水后时间分满足的函数关系式为若出水后分钟，这种鱼失去的新鲜度为，出水后分钟，这种鱼失去的新鲜度为那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度已知，结果取整数(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间，判断错误的有参考数据：(    )

A. 约天 B. 约天 C. 约天 D. 约天

10. 地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为其中常数是距震中公里处接收到的级地震的地震波的最大振幅，是距震中公里处接收到的地震波的最大振幅地震的能量单位：焦耳是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是

A. 若地震震级增加级，则最大振幅增加到原来的倍
B. 若地震震级增加级，则放出的能量增加到原来的倍
C. 若最大振幅增加到原来的倍，则放出的能量也增加到原来的倍
D. 若最大振幅增加到原来的倍，则放出的能量增加到原来的倍

11. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量微克与时间小时之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则(    )

A.
B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
C. 注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为微克
D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为时

12. 如图，某河塘浮萍面积与时间月的关系式为，则下列说法正确的是(    )

A. 浮萍每月增加的面积都相等
B. 第个月时，浮萍面积会超过
C. 浮萍面积蔓延到只需个月
D. 若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，则
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃板的块数为          
14. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是________．

参考数据：，，

15. 年月日时分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空约秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为若该火箭最大速度达到第一宇宙速度，则燃料质量是箭体质量的______倍参考数据：
16. 某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案：销售额为万元时，奖励万元；销售额为万元时，奖励万元．若公司拟定的奖励方案模型为某业务员要得到万元奖励，则他的销售额应为          万元．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到年前个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：

产量万只和月份之间可能存在以下四种函数关系：；；；各式中均有，

Ⅰ请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；

Ⅱ请你从表格数据中选择月份和月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下月份的产量，并说明哪个函数模型更好．

18. 如图，函数的图象由曲线段和直线段构成．
    

写出函数的一个解析式；

提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题．

19. 水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为现水葫芦覆盖面积单位与经过时间个月的关系有四个函数模型可供选择．

参考数据：

Ⅰ试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

Ⅱ求约经过几个月后，该水域中水葫芦面积超过．

20. 习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”目前我国一些高耗能低效产业煤炭、钢铁、有色金属、炼化等的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务十九大后，某行业计划从年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为．
    设年后年记为第年年产能为年的倍，请用表示
    若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过的？
    参考数据：，．
21. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．

求森林面积的年增长率；

到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年精确到整数？

参考数据：，

22. 据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．

求两年后这种珍稀鸟类的大约个数

写出珍稀鸟类的个数关于经过的年数的函数关系式

约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上结果为整数参考数据：，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数模型的应用，考查对数不等式，考查对数运算，属于中档题．
由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．

【解答】

解：由题设，，则，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为次．
故选：

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数不等式的求解、函数模型的应用等知识点，考查应用能力．
由题意，可列出经过年之后投入的资金，求解不等式即可得到答案．
【解答】
解：设经过年之后该市全年用于垃圾分类的资金为，
由题意可得：，
即，
，
，
，，
即从年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过亿元，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题指数函数模型的应用，属于中档题．
由题意可得污染物的含量与过滤次数满足则只需解不等式即可．

【解答】

解：过滤一次污染物的含量都会减少，则为；
过滤两次污染物的含量都会减少，则为；
过滤三次污染物的含量都会减少，则为；

过滤次污染物的含量都会减少，则为；
要求废气中该污染物的含量不能超过，则，可得
，故排放前需要过滤的次数至少为次．
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于中档题．
根据题意，先将，代入，求得，再由题意即可求解．

【解答】

解：将，代入，
得，

由得，
当增加倍时，，
所需时间为．

故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的应用，属于中档题．
由题意列出不等式，然后利用指数对数的运算进行求解可得．

【解答】

解：设过滤的次数为，原来水中杂质为，
则，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为，则至少要过滤次．
故选项为：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的实际应用，考查数学建模与数学运算的核心素养，是中档题．
由相除可得，然后解不等式，由指数函数性质估计出，从而可得的范围，由此可得结论．

【解答】

解：由题意可知，，，，解得．
设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安全开放标准，
则，整理得．
设，因为，
所以，即，
则，即，因为，所以，
故至少需要放置的时间为周．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了根据实际问题选择函数类型，涉及了指数不等式的求解、对数的运算法则和运算性质的运用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出合适的数学模型进行研究，属于拔高题．
设经过年后的投入资金为万元，求出与的关系式，然后令，再利用指数不等式的解法以及对数的运算性质求解不等式，即可得到答案．

【解答】

解：设经过年后的投入资金为万元，
则，
令，即，
故，
所以
，
所以第年即年该市用于垃圾分类的资金开始不低于万元．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．
依题设有，求出函数的解析式，即可求出答案．

【解答】

解：依题设有，解得，，
故，
令，
得，
故分钟，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数在实际生产生活的中的应用，涉及了指数方程的求解、对数的运算，解题的关键是正确理解题意，抽出数学模型进行研究，属于中档题．
将，代入，求出的值，从而得到，设感染病例数增加倍需要的时间为，则得到，将指数方程转化为对数方程进行求解，即可得到答案．
【解答】
解：把，代入，
可得，解得，
所以，
设感染病例数增加倍需要的时间为，
因为感染病例增加倍，感染病例数变为原来的倍，
所以，则，
两边取对数可得，解得，
所以在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间约为天，
则判断错误的有．
故选BCD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数函数模型的应用、对数运算性质及指数运算性质，属于中档题．
设 ，代入题目所给公式运算即可判断，，设最大振幅增加到原来的倍，对应的震级为，代入求出对应的震级和放出的能量，即可判断，．

【解答】

解：设 ，
则，又，
则，
所以，故A正确；
因为，故B错误；
设最大振幅增加到原来的倍，对应的震级为，
则，
对应放出的能量，故C错误，D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是函数模型的应用．
结合所给函数图象对各个选项依次判断即可．

【解答】

解：把点的坐标代入，得，解得，A正确
易知当时，，，C错误
由于
令，得或
解得，，
所以注射一次该药物治疗该病的有效时间长度为小时，B错误D正确．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的选择和应用问题，属于中档题．
根据图象可得过点和点，进而确定函数解析式；结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，结合对数运算的运算法则进行验证即可．
【解答】
解：由题意可知，函数过点和点，
代入函数关系式：，且；，且，
得：，解得：
函数关系式：，
函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；
当时，，故选项B正确；
当时，，当时，，
则浮萍面积蔓延到用不到个月，个月多一些即可，
故选项C错误；
若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，，则有
可得， 故选项D正确；
故选BD．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

解：设至少需要块玻璃板，

由题意知，

即，

两边取对数，

即，

即，

，

．

14.【答案】年 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数模型的应用，考查指数不等式及对数运算，由题意及指数函数模型可得，解指数不等式可得，，可得答案．
【解答】
解：设年后的第年，该公司全年投入的研发资金开始超过万元，
由，得，
两边取常用对数，得，所以，
从年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过万元．
故答案为年．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
设比例系数为，则，将，代入，求出，即可求出结果．
【解答】
解：设比例系数为，
则，
将，代入上式，得，
，代入，得，
整理，得火箭飞行速度与燃料质量的函数关系式是：
，
当该火箭最大速度达到第一宇宙速度时，
，解得，
所以燃料质量是箭体质量的倍．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数函数模型的实际应用，考查计算能力，属于一般题．
由题意得出、的方程组，然后解方程组求出函数解析式，代值计算可得答案．

【解答】

解：依题意得，即

解得，，所以，

由，解得，

故答案为．

17.【答案】解：Ⅰ
第一种：去掉，
原因如下：
两处值相差太大，故不合题意．
第二种：去掉，
原因如下：函数模型是减函数，所给数据表明函数是增函数，故不合题意．
Ⅱ
若选择第二种：去掉，
再从剩下的三种模型中选择和两个函数模型，
当选择时，即，
得，解得，得，则，
当选择时，即；
得，解得，得，则，
与比较，当选择时，该函数模型更好． 

【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
Ⅰ可以选择或，进行原因分析即可
Ⅱ若选择第二种：去掉，再从剩下的三种模型中选择和两个函数模型，分别求出两者的表达式，再计算与比较即可判断即可．
 

18.【答案】截：若曲线段是二次函数图象的一部分，
当时，设函数解析式为，由过点，代入得，得；
当时，设函数解析式为，由过点，代入得，解得，所以，
该函数的解析式是
若曲线段是三次函数图象的一部分，
当时，设函数解析式为，由过点，代入得，得；
当时，设函数解析式为，由过点，代入得，解得，所以，
则解析式可为
若曲线段是指数型函数图象的一部分，
当时，设函数解析式为，由过点，，代入得，得；
当时，设函数解析式为，由过点，代入得，解得，所以，
则解析式可为

比如，可将看作是汽车行驶速度单位：与时间单位：的关系．汽车从静止加速行驶到第，然后匀减速行驶到第停下来．

【解析】本题考查函数的模型的实际应用，属于中档题．
由题意若曲线段是二次函数图象的一部分，若曲线段是三次函数图象的一部分，若曲线段是指数型函数图象的一部分，由待定系数法求解析式；当时，设函数解析式为，由待定系数法求解析式；

比如，汽车从静止加速行驶到第，然后匀减速行驶到第停下来．

19.【答案】解：Ⅰ因为的增长速度越来越快，
所以依题意应选函数模型，
则有，解得
所以．

Ⅱ设经过个月该水域中水葫芦面积超过，
则，
即，
解得．
所以约经过个月水域中水葫芦面积超过．

【解析】本题主要考查指数函数模型，指数函数及对数运算的应用，考查学生的数学建模能力、数学应用意识，考查的核心素养是数学建模、数学运算，属于中档题．
Ⅰ首先根据指数函数与幂函数的性质结合增长速度来确定函数模型，再代入数据即可得该函数解析式；
Ⅱ设经过个月该水域中水葫芦面积超过，列出不等式，求解即可．
 

20.【答案】解：依题意得：，
，即．
设年后年产能不超过年的，则，
即，
即，
即，
，即．
，且，
的最小值为．
答：至少要到年才能使年产能不超过年的． 

【解析】本题考查利用指数函数解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
依题意得：，解得即可，
设年后年产能不超过年的，则，解得，即可求出答案．
 

21.【答案】解：设年增长率为，则，即，解得，

因此，森林面积的年增长率为；

设已植树造林年，则，即，
，解得，因此，该地已经植树造林年；

设至少需要植树造林年，则，可得，

所以，
，

因此，至少需要植树造林年

【解析】本题主要考查了函数的实际运用，属于中档题．
设森林面积的年增长率为，则：，即可求出结果；
设已经植树造林年，则由题意可知：，利用的结果求出的值即可；
设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，则：，利用的结果解出的值即可．
 

22.【答案】解：依题意，得一年后这种鸟类的个数为，两年后这种鸟类的个数为．

由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，则所求的函数关系式为，

令，得，两边取常用对数得 ，即，

因为，所以，

所以，

因为，

所以，

故约经过年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上．

【解析】略