高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性同步测试题

10.2  事件的相互独立性(精练）

【题组一 独立事件的判断】

1．（2020·全国专题练习）下列各对事件中,不是相互独立事件的有(    )

A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”

B．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”

C．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”

D．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”

【答案】ACD

【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A､B不独立,

故选：ACD

2．（2020·全国高一单元测试）下列各对事件中,为相互独立事件的是(    )

A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”

【答案】ABD

【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，

∴，，，

即，故事件M与N相互独立，A正确.

在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；

在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；

在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.

故选：ABD.

【题组二 利用概率判断互斥对立事件】

1．（2021·湖南娄底市）下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.

2．（2020·山东滨州市·高一期末）已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

【答案】BD

【解析】A选项：如果，那么，，故A选项错误；

B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；

C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；

D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.

故选：BD.

3．（2020·全国高一课时练习）（多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）

A． B．事件B与事件相互独立 

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

【答案】AD

【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；同理，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．

4．（2021·全国高三专题练习）下面结论正确的是（    ）

A．若，则事件A与B是互为对立事件

B．若，则事件A与B是相互独立事件

C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件

D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件

【答案】BD

【解析】对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.

对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.

对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.

对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.

故选：BD

【题组三 相互独立事件的概率的计算】

1．（2021·北京房山区·高一期末）暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.

【答案】

【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件

为“暑假期间两人都未外出旅游”，则，

所以.

故答案为：.

2．（2020·山东东营市·广饶一中高一期末）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则______.

【答案】0.7

【解析】随机事件，，中，与互斥，与对立，且（A），（C），

（B）（C），

（A）（B）．

故答案为：0.7．

3．（2020·全国高一专题练习）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是__________，甲获胜的概率是__________，甲不输的概率是__________.

【答案】    0    .   

【解析】甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P（A）＝，P（B）＝，

则乙不输即为事件A+B，

由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝1，

∵甲获胜的事件为C，则C与事件A+B为是对立事件，∴P（C）＝1﹣1＝0，

∴P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝，

故答案为：，0，.

4．（2020·全国高一课时练习）某人群中各种血型的人所占的比例见下表：

已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.该人群中的小明是B型血，若他因病需要输血，问：

（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

【答案】（1）（2）

【解析】（1）对任一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为事件A',B',C',D',它们是互斥的,

由已知得,

因为B,O型血可以输给B型血的人,故“任找一个,其血可以输给小明”为事件,根据互斥事件的概率加法公式,有

（2）由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事件,根据概率的加法公式,得.

5．（2021全国高一课时练习）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）设事件“电话响第声时被接”为，

那么事件彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件，

根据互斥事件概率加法公式，

得

.

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.

根据对立事件的概率公式，得.

6．（2021·涞水）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．

（1）求取球3次即终止的概率；

（2）求甲取到白球的概率．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设事件A为“取球3次即终止”.即甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，甲取到的是白球，因此，

（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，

所以

．

7．（2020·全国高一课时练习）袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(所有的球除颜色外都相同)，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：

（1）3只球颜色全相同的概率；

（2）3只球颜色不全相同的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）3只球颜色全相同包括3只球全是红球(记为事件A)，3只球全是黄球(记为事件B)，3只球全是白球(记为事件C)，且它们彼此互斥，故3只球颜色全相同这个事件可记为A+B+C.又P(A)=P(B)=P(C)=，故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.

（2）记“3只球颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只球颜色全相同”.

又P()=P(A+B+C)=，所以P(D)=1－P()=1－，

故3只球颜色不全相同的概率为.

8．（2021·烟台市）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.

【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则

“甲赢得比赛”，.

“乙赢得比赛”，.

因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.

（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，

则；

.

于是“两人中至少有一人赢得比赛”

.

9．（2020·山东高一期末）某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．

（1）写出所有的样本点；

（2）求李明通过面试的概率．

【答案】(1) ；(2)

【解析】(1) 李明能通过面试的样本空间中样本点：

(2)由(1)知，李明通过面试的概率

，

又这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为

∴，，

，，，

即.

10．（2020·全国高一课时练习）小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；

（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达，则，，，所以，，.且A，B，C相互独立.

（1）由题意得，恰好有两列火车正点到达的概率为

.

（2）由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为.

（3）由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为

.

11．（2020·全国高一课时练习）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和.

（1）求2个人都译出密码的概率；

（2）求2个人都译不出密码的概率；

（3）求至多1个人都译出密码的概率；

（4）求至少1个人都译出密码的概率.

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）记“甲独立地译出密码”事件，“乙独立地译出密码”为事件，且，为相互独立事件，且，.

2个人都译出密码的概率为

.

（2）2个人都译不出密码的概率为

.

（3）“至多1个人译出密码”的对立事件“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为

.

（4）“至少1个人译出密码”的对立事件“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为

.