2020-2021学年10.2 事件的相互独立性同步练习题

这是一份2020-2021学年10.2 事件的相互独立性同步练习题，共5页。
[合格基础练]
一、选择题
1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．非相互独立事件
D [根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B为非相互独立事件．]
2．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )
A.eq \f(1,20) B.eq \f(15,16) C.eq \f(3,5) D.eq \f(19,20)
C [设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝eq \f(160,200)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(180,240)＝eq \f(3,4)，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5).]
3．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是( )
A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96
C [∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.]
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为( )
A.eq \f(7,64) B.eq \f(25,192) C.eq \f(35,192) D.eq \f(35,576)
C [由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为eq \f(25,60)×eq \f(35,60)×eq \f(45,60)＝eq \f(35,192).]
5．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )
A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.064
B [由题意知，所求概率为1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.]
二、填空题
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq \f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为 ．
eq \f(3,5) [设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝eq \f(16,25)，所以p＝eq \f(3,5).]
7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(A eq \x\t(B))＝ ；P(eq \(A,\s\up12(－)) eq \(B,\s\up12(－)))＝ .
eq \f(1,6) eq \f(1,6) [∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，∴P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3).∴P(A eq \x\t(B))＝P(A)P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
P(eq \(A,\s\up12(－)) eq \(B,\s\up12(－)))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).]
8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 ．
0．24 0.96 [由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.]
三、解答题
9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
[解] 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A eq \x\t(B))∪(eq \x\t(A)B)，则P(D)＝P(A eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)
＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
10．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
[解] 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1,2,3)，
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3，且这三次试跳相互独立．
∴P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3)＝P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(A)2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(B)1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
[等级过关练]
1．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,12)
D [根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(5,12).]
2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,18) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
D [由题意，P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,9)，P(eq \x\t(A))·P(B)＝P(A)·P(eq \x\t(B))．
设P(A)＝x，P(B)＝y，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x1－y＝\f(1,9)，,1－xy＝x1－y，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y.))∴x2－2x＋1＝eq \f(1,9)，
∴x－1＝－eq \f(1,3)，或x－1＝eq \f(1,3)(舍去)，∴x＝eq \f(2,3).]
3．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 ．
0．128 [记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.]
4．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，则他第k次恰好打开房门的概率等于 ．
eq \f(1,n) [由 “第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，
∴第k次恰好打开房门的概率为eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×…×eq \f(n－k－1, n－k－2)×eq \f(1,n－k－1)＝eq \f(1,n).]
5．某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为eq \f(1,2)，“三步上篮”的命中率为eq \f(3,4)，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率．
[解] 设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，依题意有P(Ai)＝eq \f(1,2)，P(Bi)＝eq \f(3,4)(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.
P(eq \(C,\s\up12(－)))＝P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(B)1eq \x\t(B)2)＋P(A1eq \x\t(B)1eq \x\t(B)2)
＝P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(A)2)＋P(eq \x\t(A)1)P(A2)P(eq \x\t(B)1)P(eq \x\t(B)2)＋P(A1)·P(eq \x\t(B)1)P(eq \x\t(B)2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))2＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))2＝eq \f(19,64).
∴P(C)＝1－eq \f(19,64)＝eq \f(45,64).