人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案，共47页。学案主要包含了第1课时，学习目标，学习重难点，学习过程，第2课时，第3课时，第4课时等内容，欢迎下载使用。
三角恒等变换
【第1课时】
【学习目标】
经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
【学习重难点】
两角差的余弦公式．
【学习过程】
一、自主学习
知识点：两角差的余弦公式
名称
简单符号
公式
使用条件
两角差
的余弦
C（α－β）
cos（α－β）＝
cos_αcos_β＋sin_αsin_β
α，β为任意角
公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．
教材解难：
（1）注意事项：不要误记为cos（α－β）＝cosα－cosβ或cos（α－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．
（2）该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝（α＋β）－α，β＝－等．
基础自测：
1．cos（45°－60°）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：cos（45°－60°）＝cos45°cos60°＋sin45°sin60°＝×＋×＝．
答案：D
2．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：原式＝cos（45°－15°）＝cos30°＝．
答案：B
3．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是（ ）
A．0
B．
C．
D．－
解析：原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos（75°－15°）
＝cos60°＝．故选B．
答案：B
4．已知cosα＝，α∈，则cos＝________．
解析：因为cosα＝，α∈，
所以sinα＝＝＝．
所以cos＝cosαcos＋sinα
sin＝×＋×＝．
答案：
二、素养提升
题型一：运用公式化简求值
例1：化简求值：
（1）cos63°sin57°＋sin117°sin33°；
（2）cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ．
解析：（1）原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos（63°－33°）＝cos30°＝．
（2）原式＝cos[（α＋β）－β]＝cosα．
（1）由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角．
（2）利用公式求值．
方法归纳：
两角差的余弦公式常见题型及解法
（1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1：求值：
（1）cos15°＝________；
（2）cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________．
解析：（1）cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝．
（2）原式＝cos（75°－15°）＝cos60°＝．
答案：（1）；（2）
（1）15°＝45°－30°．
（2）利用公式求值．
题型二：给值求值问题
例2：已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos（α－β）的值．
解析：由sinα＝，α∈，得
cosα＝－
＝－＝－．
又由cosβ＝－，β是第三象限角，得
sinβ＝－
＝－＝－．
所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝－．
由sinα求cosα，由cosβ求sinβ再利用cos（α－β）公式求值．
教材反思
给值求值的解题策略
（1）利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．
（2）常用的变角技巧有α＝（α＋β）－β，β＝（α＋β）－α，α＋β＝（2α＋β）－α，α＋β＝（α＋2β）－β，α＋β＝－等．
跟踪训练2：已知α，β∈，且sinα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值．
解析：因为α，β∈，
所以0