高中人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件教学设计

课程目标

学科素养

A.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；

B.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．

C.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

D.在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

1.数学抽象：充分条件、必要条件、充要条件的含义；

2.逻辑推理：判断命题的充分条件、必要条件、充要条件；

3..直观想象：对条件的判定应该归结为判断命题的真假。

教学过程

落实核心素养目标

一、情景引入，温故知新

情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常),

记p:闭合开关A,        q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题

情景2：记p:x >2,  q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题

二、探索新知

探究一  充分条件与必要条件的含义

1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若                          

（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

【答案】（1）真   (2)假   (3) 假  （4）真

2、归纳新知

（1）充分条件、必要条件的含义

一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即,那么p叫做q的充分条件, p叫做q 的必要条件.    

P足以导致q,也就是说条件p充分了；

q是p成立所必须具备的前提.

（2） 

3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若                          

（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

【解析】（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）、（3）中， p不是q的充分条件，q不是p的必要条件

【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，，              所以p是q的充分条件；

(2)这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件；

（3）这是一条菱形的性质定理，,所以p是q的充分条件;

（4）由于, 所以p不是q的充分条件。

（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件。

（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件。

4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？

【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。

结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，，所以q是p的必要条件；

（2）这是一条相似三角形的性质定理，，所以q是p的必要条件；

（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，所以q不是p的必要条件；

（4）显然， 所以q不是p的必要条件。

（5）由于 所以q不是p的必要条件；

（6）为无理数，但1，不全是无理数，，所以q不是p的必要条件。

思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？

【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。

【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

探究二   充要条件的含义

1.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则。                                                

（4）若是空集，则A与B均是空集。

【解析】命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。

2.定义：一般地，如果既有，又有，就记作：, 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。其中叫做等价符号。。

例3  下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；

（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;

(4) p:x=1是一元二次方程的一个根，q:。

解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要条件。

（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即，所以P是q的充要条件。

（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 ，所以p不是q的充要条件。

（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，            

   所以P是q的充要条件。

3.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

【解析】四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。

例4  已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。

解析:设：，：直线与⊙O相切。要证是的充要条件，只需证明充分性（）和必要性（）即可。

解：教材P22

点评：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。

通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出充分条件与必要条件的含义。提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

通过命题真假的判定，归纳出充分条件、必要条件的含义。

通过思考，进一步理解充分条件、必要条件的含义，教会学生解决和研究问题。

通过例题进一步巩固充分条件的含义，提高学生解决问题的能力。

通过思考理解充分条件的不唯一。

通过例题进一步巩固必要条件的含义，提高学生解决问题的能力。

通过思考理解必要条件的不唯一。

通过判断命题及其逆命题的真假，概括归纳充要条件的定义，提高学生的抽象概括能力。

提高例题进一步巩固充要条件。

通过思考理解充要条件的不唯一。

提高例题掌握充要条件的证明方法，提高学生解决问题的能力。去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。

三、达标检测

【答案】B

2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：

（1）x＝y是x2＝y2的_____________ 条件；

（2）ab = 0是a = 0 的________________条件；

（3）x2>1是x<1的__________________条件；

（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件。

【答案】（1）充分不必要  （2）必要不充分  （3）既不充分也不必要  （4）充要

3.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。

证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a12+b1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1、充分条件、必要条件、充要条件的概念.

2、判断充分、必要条件的基本步骤：

           ①认清条件和结论；

           ②考察是否能成立。

3、判别技巧：

      ① 可先简化命题；

      ② 否定一个命题只要举出一个反例即可；

五、作业

习题1.4    3，5题

通过总结，让学生进一步巩固充分条件、必要条件、充要条件的概念，集合的表示方法，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。