人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质教案设计

第2课时　等式性质与不等式性质

1．等式的性质

(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；

(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；

(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；

(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　)

A．a－b＞d－c　　 B．a＋d＞b＋c

C．a－c＞b－c   D．a－c＜a－d

B　[根据不等式的性质．]

2．与a>b等价的不等式是(　　)

A．|a|>|b|   B．a2>b2

C.>1   D．a3>b3

D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]

3．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．x2<ax<a2   B．x2>ax>a2

C．x2<a2<ax   D．x2>a2>ax

B　[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]

利用不等式性质判断命题真假

【例1】　对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　)

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b＞0，则＞

C．若a＜b＜0，则＞

D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0

[思路点拨]　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．

D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，

有ac2＝bc2，故A为假命题；

由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞，

故B为假命题；

⇒＞，

故C为假命题；

ab＜0.

∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．

法二：特殊值排除法．

取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．

取a＝2，b＝1，则＝，＝1.

有＜，故B错．取a＝－2，b＝－1，

则＝，＝2，有＜，故C错．]

运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

1．下列命题正确的是(　　)

A．若a2＞b2，则a＞b

B．若＞，则a＜b

C．若ac＞bc，则a＞b

D．若＜，则a＜b

D　[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]

利用不等式性质证明简单不等式

【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.

[思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．

[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.

又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.

∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.

两边同乘以，

得＜.

又e＜0，∴＞.

利用不等式的性质证明不等式注意事项

1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

[证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.

又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，

∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc.

不等式性质的应用

[探究问题]

1．小明同学做题时进行如下变形：

∵2<b<3，

∴<<，

又∵－6<a<8，

∴－2<<4.

你认为正确吗？为什么？

提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确a值的正负．故不能将<<与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．

2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？

提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．

3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？

∵2<a－b<4，

∴－4<b－a<－2.

又∵－2<a＋b<2，

∴0<a<3，－3<b<0，

∴－3<a＋b<3.

这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？

提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．

【例3】　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．

[思路点拨]　依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．

[解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8，

所以－8＜－b＜－2.

所以1－8＜a－b＜4－2，

即－7＜a－b＜2.

又因为＜＜，所以＜＜＝2，

即＜＜2.

求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.

3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．

[解]　∵已知－≤α＜β≤，

∴－≤＜，－＜≤，

两式相加，得－＜＜.

∵－＜≤.

∴－≤－＜.

∴－≤＜，

又知α＜β，∴＜0.

故－≤＜0.

1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．

2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.

1．思考辨析

(1)若a>b，则ac>bc一定成立．(　　)

(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)

[提示]　(1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．

(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.

[答案]　(1)×　(2)×

2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是(　　)

A．a－d＞b－c　　　 B．－＜－

C．a＋d＞b＋c   D．ac＞bd

C　[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，

即a－d＞b－c，所以A正确；

由c＞d＞0，得＞＞0.

又a＞b＞0，所以＞，－＜－即B正确；

显然D正确，因此不正确的选项是C.]

3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是(　　)

A．－2＜α－β＜0   B．－2＜α－β＜－1

C．－1＜α－β＜0    D．－1＜α－β＜1

A　[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，

得－1＜－β＜1.

∴－2＜α－β＜2，但α＜β.

故知－2＜α－β＜0.]

4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.

[证明]　因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，

因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.