高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀复习练习题，共12页。试卷主要包含了 答案等内容，欢迎下载使用。


单选题：
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
3.已知六面体ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为( )
A.45° B.60°
C.90° D.30°
二、填空题:
4.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________.
5.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.
6. 正方体中，二面角的大小是 ．
7.正三棱柱的侧棱与底面边长相等，则与平面的夹角的余弦值为 ．
三、拓展题：
8.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝PD，
∠APD＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PCD；
(2)求二面角A­PB­C的余弦值．
9如图在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
四、创新题：
10. 如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为AC的中点，且PO⊥平面ABC；若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为 30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
11．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以 DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

同步练习答案
选择题：
答案：B.
解析：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
D1(0，0，1)， 所以eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)
，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，1). 令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·eq \(AC,\s\up6(→))＝－x＋y＝0， n·eq \(AD1,\s\up6(→))＝－x＋z＝0，
令x＝1， 可得n＝(1，1，1)， 所以sin θ＝|cs〈n，eq \(BB1,\s\up6(→))〉|＝eq \f(1,\r(3)×1)＝eq \f(\r(3),3).
故选B.
2.答案：B.
解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，
则A1(0，0，1)， Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，D(0，1，0)，
∴eq \(A1D,\s\up6(→))＝(0，1，－1)， A1E＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，－\f(1,2)))，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(A1D,\s\up6(→))·n1＝0，,\(A1E,\s\up6(→))·n1＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,1－\f(1,2)z＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2.)) ∴n1＝(1，2，2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， ∴ cs〈n1，n2〉＝eq \f(2,3×1)＝eq \f(2,3).
即所成的锐二面角的余弦值为eq \f(2,3). 故选B.
3. 答案：A.
解析：如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，0))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)，0，a))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))， C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a))， ∴eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2)))，eq \(CC1,\s\up6(→))＝(0，0，a).
设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，n·eq \(AD,\s\up6(→))＝0， 可取n＝(eq \r(3)，1，－2).
∴cs〈eq \(CC1,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(CC1,\s\up6(→))·n,|\(CC1,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(－2a,a×2\r(2))＝－eq \f(\r(2),2)，
∴直线CC1与平面AB1D所成的角为45°. 故选A.
二、填空题：
4. 答案：eq \f(2,3).
解析 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0，1，2).
设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥eq \(DB,\s\up6(→))，n⊥eq \(DC1,\s\up6(→))，
所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＋2z＝0，))令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝ (2，－2，1).
设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈n，eq \(DC,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·\(DC,\s\up6(→)),|n||\(DC,\s\up6(→))|)))＝eq \f(2,3).
5.答案： eq \f(\r(2),3)
解析 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH， 则∠EHB为所求二面角的平面角.
∵BH＝eq \f(3\r(2),2)，EB＝1， ∴tan∠EHB＝eq \f(EB,BH)＝eq \f(\r(2),3).
6. 答案：
解析：设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，

，，，，，，，
设平面的法向量，则，
取，得，
设平面的法向量，则，
取，得，
设二面角的平面角为，，
∴二面角的大小为．
7. 答案：
解析：设，以为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，

则，，，
又平面的一个法向量，设与平面的夹角为，
则， 故．
三、拓展题：
8.答案：（1）证明略， （2）－eq \f(\r(10),5).
解析：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，
易得PO⊥底面ABCD，OQ⊥AD，
以O为原点，eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OQ,\s\up16(→))，eq \(OP,\s\up16(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形ABCD的边长为2，
可得A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，1)．
设平面APB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
而eq \(PA,\s\up16(→))＝(1，0，－1)，eq \(PB,\s\up16(→))＝(1，2，－1)．
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(PA,\s\up16(→))＝0，,n1·\(PB,\s\up16(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1－z1＝0，,x1＋2y1－z1＝0，)) 则y1＝0，取x1＝1，
得n1＝(1，0，1)为平面APB的一个法向量．
设平面BCP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
而eq \(PB,\s\up16(→))＝(1，2，－1)，eq \(PC,\s\up16(→))＝(－1，2，－1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2·\(PB,\s\up16(→))＝0，,n2·\(PC,\s\up16(→))＝0，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2y2－z2＝0，,－x2＋2y2－z2＝0，))
则x2＝0，取y2＝1， 得n2＝(0，1，2)为平面BCP的一个法向量．
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq \f(1×0＋0×1＋1×2,\r(2)×\r(5))＝eq \f(2,\r(10))＝eq \f(\r(10),5)，
由图易知二面角A­PB­C为钝角， 故二面角A­PB­C的余弦值为－eq \f(\r(10),5).
9. 答案：（1） （2）
解析：如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O?xyz．
因为AB=AA1=2，所以．
（1）因为P为A1B1的中点，所以，
从而，
故．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则即 不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，则
，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
四．创新题：
10.答案：eq \f(\r(3),4)
解析：如图，以O为坐标原点，eq \(OB,\s\up16(→))的方向为x轴正方向，建立空间 直角坐标系O－xyz.
由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq \r(3))，eq \(AP,\s\up16(→))＝(0，2，2eq \r(3))．取平面PAC的一个法向量eq \(OB,\s\up16(→))＝(2，0，0)．
设M(a，2－a，0)(0＜a≤2)，则eq \(AM,\s\up16(→))＝(a，4－a，0)．
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z) 由eq \(AP,\s\up16(→))·n＝0，eq \(AM,\s\up16(→))·n＝0得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＋2\r(3)z＝0，,ax＋（4－a）y＝0，)) 可取n＝(eq \r(3)(a－4)，eq \r(3)a，－a)，
所以cs〈eq \(OB,\s\up16(→))，n〉＝eq \f(2\r(3)（a－4）,2\r(3（a－4）2＋3a2＋a2)).
由已知可得|cs〈eq \(OB,\s\up16(→))，n〉|＝eq \f(\r(3),2)， 所以eq \f(2\r(3)|a－4|,2\r(3（a－4）2＋3a2＋a2))＝eq \f(\r(3),2)，
解得a＝－4(舍去)，a＝eq \f(4,3)， 所以n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8\r(3),3)，\f(4\r(3),3)，－\f(4,3))).
又eq \(PC,\s\up16(→))＝(0，2，－2eq \r(3))，所以cs〈eq \(PC,\s\up16(→))，n〉＝eq \f(\r(3),4).
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为eq \f(\r(3),4).
11.答案：（1）见证明， （2）eq \f(\r(3),4)
解析：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，eq \(HF,\s\up16(→))的方向为y轴正方向，|eq \(BF,\s\up16(→))|为单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝eq \r(3).又PF＝1，EF＝2，
故PE⊥PF.可得PH＝eq \f(\r(3),2)，EH＝eq \f(3,2).
则H(0，0，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)，0))
，eq \(DP,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(HP,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(HP,\s\up16(→))·\(DP,\s\up16(→)),|\(HP,\s\up16(→))||\(DP,\s\up16(→))|)))＝eq \f(\f(3,4),\r(3))＝eq \f(\r(3),4).
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为eq \f(\r(3),4).