高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀精练，共9页。试卷主要包含了 故选C等内容，欢迎下载使用。


单选题：
1.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＜eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)) B.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)) D.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的大小不能比较
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为( )
A.a2 B.eq \f(1,2)a2 C.eq \f(1,4)a2 D.eq \f(\r(3),4)a2
3.在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
4.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5.如图，二面角的大小为，，为棱上相异的两点，射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若线段，和的长分别为，和，则的长为（ ）
B．
D．
二、填空题:
6.已知为两两垂直的单位向量，，，则与夹角的余弦值为 ．
7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.
8.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的 两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq \r(17)， 则该二面角的大小为__________.
三、双空题：
9.已知平行六面体，设中点为，的中点为，
若且，则 ，若，则 ．
四、拓展题：
10.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))； (2)EG的长；
(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
四、创新题：
11.如图，将边长为1的正方形沿对角线折成
大小等于的二面角，，分别为，的中
点，若，，求线段长度的取值范围．

12.是正方形的边的中点，将绕旋转，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围．
同步练习答案
选择题：
1.答案：C.
解析：取BD的中点F，连接EF，则EF綉eq \f(1,2)CD，因为〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＞90°
因为eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＜0，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)). 故选C.
2.答案：C.
解析 如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c， ∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·eq \f(1,2)c
＝eq \f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2. 故选C.
3. 答案：B.
解析：如图，，，
．
．
．
异面直线与所成角的余弦值是．故选：．
4.答案：D.
解析：(法1)∵，，，，
则=5 所以. 故选D．
(法2)：如图所示，设，，分别为，和的中点，则(或其补角)就是异面直线与所成角，，.作中点，则为直角三角形，∵，，在中，由余弦定理
，∴，，
在中，，
在中，由余弦定理得，
∴与所成角的余弦值为． 故选D．

5.答案：A
解析：二面角的大小为，，为棱上相异的两点，
射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．
线段，和的长分别为，和，
，
的长为． 故选：．
二、填空题：
6．答案：
解析：为两两垂直的单位向量，，，
，
，
，
，， ．
7. 答案： eq \r(2)
解析： |eq \(EF,\s\up6(→))|2＝(eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2
＝eq \(EC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))2＋2(eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→)))
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)＝2，
∴|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)， ∴EF的长为eq \r(2).
8. 答案 60°
解析 ∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|· cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝－24.
∴ cs〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝－eq \f(1,2). 又所求二面角与〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉互补，
∴所求的二面角为60°.
三、双空题：
9. 答案：，0
解析：①，
，
解得．
②，
与比较可得：，．则．

四、拓展题：
10. 答案：（1）eq \f(1,4) （2）eq \f(\r(2),2) （3）eq \f(2,3)
解析：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a，eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，eq \(DC,\s\up6(→))＝b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4)，
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b－a＋eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)b ＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
|eq \(EG,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)c2－eq \f(1,2)a·b＋eq \f(1,2)b·c－eq \f(1,2)c·a＝eq \f(1,2)， 则|eq \(EG,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
由于异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为eq \f(2,3).
五．创新题：
11.答案：．
解析：连接，，可得，，
即有为二面角的平面角，
且，在等腰中，，
且，，，， 则．
12.答案：
解析：如图，在平面内，过作交的延长线于，
设正方形的边长为2，（1）当没有旋转时，
在中，可得，，
；
（2）当将绕旋转，使面与平面重合时，
此时求得，．
直线与直线所成角的余弦值的取值范围是．