高中人教A版 (2019)3.3 幂函数学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.3 幂函数学案，共13页。学案主要包含了幂函数的概念，幂函数的图象及应用，比较幂值的大小等内容，欢迎下载使用。

3．3　幂函数
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．


知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减

知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
预习小测　自我检验
1．下列函数中不是幂函数的是________．
①y＝x0； ②y＝x3；
③y＝2x； ④y＝x－1.
答案　③
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．
答案　1,3
解析　当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3，
又函数的定义域为R，
所以α≠－1，所以α＝1,3.
3．当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案　>
4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.
答案　

一、幂函数的概念
例1　(1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　幂函数有①⑥两个．
(2)已知是幂函数，求m，n的值．
考点　幂函数的概念
题点　由幂函数定义求参数值
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟　判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
跟踪训练1　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.
又f ＝，所以α＝，
解得α＝，从而k＋α＝.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)
A．2 B．1 C. D．0
答案　A
解析　因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
二、幂函数的图象及应用
例2　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
解　因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx的图象正确的是(　　)

答案　C
反思感悟　(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练2　(1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取(　　)

A.，－2，
B．－2，，
C．－2，，
D.，，－2
答案　C
(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)

考点　幂函数的图象
题点　幂函数有关的知图选式问题
答案　C
解析　选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
三、比较幂值的大小
例3　比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
解　(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，所以.
反思感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)，和.
解　(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以.
(2)
所以

幂函数性质的应用
典例　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a 解得 故a的取值范围是.
[素养提升]　通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．


1．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
答案　D
2．下列不等式成立的是(　　)
A. B.
C.2>2 D．
答案　A
3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
答案　－
解析　因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
4．若幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
答案　2
解析　令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求．
当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求．
故m＝2.
5．先分析函数的性质，再画出其图象．
解　，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：


1．知识清单：
(1)幂函数的定义．
(2)几个常见幂函数的图象．
(3)幂函数的性质．
2．方法归纳：
(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．
(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．
3．常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数．


1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
考点　幂函数的概念
题点　判断函数是否为幂函数
答案　C
解析　根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，
y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
答案　A
解析　其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
3．已知f(x)＝，若0 A．f(a) B．f C．f(a) D．f 考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　C
解析　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又0 4．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　A
解析　由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
5.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　　)

A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
答案　B
解析　要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.
6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
答案　α<0
解析　因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.
7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．
答案　m 解析　设f(x)＝x－1，已知a≠0，
则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(a2＋3) 故m 8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　1
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解　(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10．点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x) 解　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
因为()α＝3，(－2)β＝－，
所以α＝2，β＝－1，
所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．

由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)
11．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．3
答案　B
解析　因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，
所以m－3<0.
所以m<3.
又因为m∈N*，
所以m＝1,2.
又因为f(x)＝xm－3是奇函数，
所以m－3是奇数，
所以m＝2.
12．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

答案　B
解析　y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.
13．若<，则a的取值范围是________．
答案　
解析　函数y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得－1≤a<.
14．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f ＝________，函数f 的定义域为________．
答案　　(0,1]
解析　令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f(x)＝＝，∴f ＝.
令－1≥0解得0 故f 的定义域为(0,1]．

15．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(　　)
A．1 B．0,2 C．－1,1,3 D．0,1,2
答案　C
解析　∵幂函数y＝(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1,1,3.

16．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解　(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，
又f(x)为偶函数，则m＝3，
所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝x2－ax－3＝2－3－在[1,3]上不单调，
则对称轴x＝满足1<<3.
即2 所以，实数a的取值范围为(2,6)．