必修 第一册4.1 指数导学案

§4.1 指数与指数幂的运算

导学目标：

通过对有理数指数幂（且；为整数，且）、实数指数幂（且；）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

（预习教材P104~ P110，回答下列问题）

复习：在初中，我们学习了正整数指数幂的意义：一个数的次幂等于个的连乘积，即．

 且我们知道，正整数指数幂的运算法则有以下五条：

（1）   

（2）

（3）

（4）

（5）

问题：在学习幂函数的过程中，我们把正方形场地的边长关于面积的函数，记作，这样的以分数为指数的幂，其意义是什么呢？为了回答上述问题，我们需要引入一个新的概念——次方根．

我们知道：

如果，那么叫做的平方根．例如：就是的平方根．

如果，那么叫做的平方根．例如：就是的立方根．

【知识点一】　

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.

（1）当是奇数时，

正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，可表示为；

（2）当是偶数时，

正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.可表示为（）

（3）负数没有偶次方根．

（4）的任何次方根都是，记作：．

即：，其中中个部分的名称如下：

自我检测1：的次方根为     ；的次方根为     ；

           的次方根为      ．

思考：以下两个等式和一定成立吗？请验证？

【知识点二】根式的性质　

（1）；

（2）．

自我检测2：求下列各式的值

（1）      ；（2）      ；（3）          ．

观察下列等式间的互化规律：

你能把下面的根式化成分数指数幂的形式吗？

（1）         ．               （2）           ．  

【知识点三】分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质

这样，我们初中所学的整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：

（1）

（2）

（3）

自我检测3：用分数指数幂表示：（1）         ；（2）         ；

同样的，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

题型一　利用根式的性质化简求值

【例1-1】下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【例1-2】化简：＝（    ）

A．                            B． 

C．或                    D．

题型二　根式与分数指数幂的互化

【例2-1】将下列根式化成分数指数幂的形式.

（1）(a>0)；

（2）；

（3）(b>0).

【例2-2】用分数指数幂表示，正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

题型三  分数指数幂的运算与化简

【例3-1】得（    ）

A． B． 

C． D．

【例3-2】计算下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）．

1．已知，则化为（    ）

A． B． 

C． D．

2．化简的结果（    ）

A． B． 

C． D．

3．计算（    ）

A． B． 

C． D．

4．化简求值：                  ；

5．计算下列各式的值：

（1）；

（2）已知，求值：①；②.

§4.1 指数与指数幂的运算（第一课时）答案

导学目标：

通过对有理数指数幂（且；为整数，且）、实数指数幂（且；）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

（预习教材P104~ P110，回答下列问题）

复习：在初中，我们学习了正整数指数幂的意义：一个数的次幂等于个的连乘积，即．

 且我们知道，正整数指数幂的运算法则有以下五条：

（1）   

（2）

（3）

（4）

（5）

问题：在学习幂函数的过程中，我们把正方形场地的边长关于面积的函数，记作，这样的以分数为指数的幂，其意义是什么呢？为了回答上述问题，我们需要引入一个新的概念——次方根．

我们知道：

如果，那么叫做的平方根．例如：就是的平方根．

如果，那么叫做的平方根．例如：就是的立方根．

【知识点一】　

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.

（1）当是奇数时，

正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，可表示为；

（2）当是偶数时，

正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.可表示为（）

（3）负数没有偶次方根．

（4）的任何次方根都是，记作：．

即：，其中中个部分的名称如下：

自我检测1：的次方根为     ；的次方根为     ；

           的次方根为      ．

思考：以下两个等式和一定成立吗？请验证？

【知识点二】根式的性质　

（1）；

（2）．

自我检测2：求下列各式的值

（1）      ；（2）      ；（3）          ．

观察下列等式间的互化规律：

你能把下面的根式化成分数指数幂的形式吗？

（1）         ．               （2）           ．  

【知识点三】分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质

这样，我们初中所学的整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：

（1）

（2）

（3）

自我检测3：用分数指数幂表示：（1）         ；（2）         ；

【答案】

同样的，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

题型一　利用根式的性质化简求值

【例1-1】下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【例1-2】化简：＝（    ）

A．                            B． 

C．或                    D．

【答案】A

题型二　根式与分数指数幂的互化

【例2-1】将下列根式化成分数指数幂的形式.

（1）(a>0)；

（2）；

（3）(b>0).

【答案】（1）原式；

（2）原式=；

（3）原式＝.

【例2-2】用分数指数幂表示，正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

题型三  分数指数幂的运算与化简

【例3-1】得（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【例3-2】计算下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）

；

（2）原式；

（3）原式.

1．已知，则化为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

2．化简的结果（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

3．计算（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】A

4．化简求值：                  ；

【答案】（；

5．计算下列各式的值：

（1）；

（2）已知，求值：①；②.

【答案】（1）原式；

（2）①因为，所以，即，

所以，

②由①知，因为，所以，

所以.