天津市九校联考2022届高三下学期数学一模试卷及答案

高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知 ，“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是（　　）

A．27 B．30 C．45 D．60

4．已知函数，其图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

5．已知，，，则，，的大小关系为(　　)

A． B． C． D．

6．已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是

A． B． C． D．

7．函数（，）的部分图象如图所示，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列说法中正确的是（　　）

A．函数的最小正周期是

B．函数的图象关于点对称

C．函数在单调递减

D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数

8．以△ABC为底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球，并且正三棱锥 的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥 和正三棱锥 的体积分别为和，则=（　　）

A． B． C． D．

9．已知函数 ，若关于 的方程 有四个不等实根，则实数 的取值范围为（　　） 

A． B．

C． D．

二、填空题

10．已知复数，则　     　.

11．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为　     　.

12．若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为　     　.

13．设，那么 的最小值是　     　.

14．已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为　     　；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为　     　.

15．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点. ，点M在线段EF上，且满，则　     　；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为　            　.

三、解答题

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为，b－c＝2，cos A＝－.

（1）求a和sin C的值；

（2）求cos的值.

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD，E为CD的中点，M在AB上，且

（1）求证：EM∥平面PAD；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

（3）点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45°，求AF的长.

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 长轴是短轴的 倍，点(2，1)在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与圆O： 相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点. 

①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；

②若△OPQ的面积为 求直线l的方程.

19．已知数列 中， ， . 

（1）求证：数列 是等比数列.  

（2）记 是数列 的前 项和： 

①求 ；

②求满足 的所有正整数 .

20．已知函数

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）若，判断函数的零点的个数.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】A

10．【答案】2

11．【答案】-10

12．【答案】

13．【答案】16

14．【答案】；

15．【答案】；

16．【答案】（1）解：在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.

由S△ABC＝bcsin A＝3，

得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.

由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.

由＝，得sin C＝

（2）解：cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin

＝ (2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝

17．【答案】（1）证明：由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则.
 

则，

所以，又，

所以，

又平面PAD，平面PAD，

所以EM∥平面PAD.

（2）解：.

设平面的法向量为，

则有，可取，

由题意，平面的一个法向量可取，

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为，

则，

所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为

（3）解：设，，

即，

可得，

所以，又，

由题意有，

解得或（舍）

所以，

所以

18．【答案】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的 倍，点(2，1)在椭圆C上， 

可得 ，解得 ， ，所以椭圆 的方程为 .

（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在，

不妨设直线 的方程为 ，即 ，且 ， ，

因为直线与圆相切，所以 ，即 ，

联立 ，得 ，

设 ， ， ， ，则有 ， ，

所以

，

所以 ，

所以 ，即 ，即以 为直径的圆过原点 .

②由①可得 ， ， ，

所以 ，

点 到直线 的距离为 ，

可得 ，解得 ，或 ，

当 时， ，当 时， ，

所以 ， ，或 ， ，

则直线方程为 或 .

19．【答案】（1）证明：设 ，  

因为

，

所以数列 是以 即 为首项，以 为公比的等比数列.

（2）解：①由（1）得 ，  

即 ，由 ，

得 ，

所以 ，

，

②显然当 时， 单调递减，

又当 时， ，

当 时， ，所以当 时， ；

，

同理，当且仅当 时， ，

综上，满足 的所有正整数 为 和 .

20．【答案】（1）解：若，则，

所以，所以，所以切线方程为

（2）解：依题意，在区间上

因为，．

令得，或．

若，则由得，；由得，．

所以，满足条件；

若，则由得，或；由得，

，

依题意，即，所以．

若，则．

所以在区间上单调递增，，不满足条件；

综上，

（3）解：，．

所以．设，．

令得．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以的最小值为．

因为，所以．

所以的最小值．

从而，在区间上单调递增．

又，

设．

则．令得．由，得；

由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以恒成立．所以，．

所以．

又，所以当时，函数恰有1个零点．