北京市昌平区2022届高三数学二模试卷及答案

 高三数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．设复数z满足 ，则z= （　　）  

A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

3．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（　　）

A．300 B．450 C．480 D．600

4．记为等差数列的前项和，若，则（　　）

A．4 B．7 C．8 D．9

5．已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

6．“”是“函数在区间上单调递减”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．// B．

C．//平面 D．平面

8．已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（　　）

A．1 B． C．2 D．

9．已知函数，则关于的不等式的解集是（　　）

A． B． C． D．

10．在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（　　）

A．① B．①② C．②③ D．①②③

二、填空题

11．抛物线 的准线方程为　     　．

12．展开式中常数项为　     　（用数字作答）.

13．若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为　                  　.

14．已知是△的边的中点，，，则　     　；　     　

15．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则　     　；图中螺旋形图案的面积为　        　.

三、解答题

16．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

17．已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

（1）求的解析式；

（2）设，若在区间上的最大值为2，求的最小值．

条件①：的最小值为-2；

条件②：的图象经过点；

条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.

（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；

（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）

19．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

20．已知函数，.

（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；

（2）若函数无零点，求实数的取值范围；

（3）当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围.

21．已知数列，给出两个性质：

①对于任意的，存在，当时，都有成立；

②对于任意的，存在，当时，都有成立．

（1）已知数列满足性质①，且，，试写出的值；

（2）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；

（3）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】

12．【答案】60

13．【答案】（答案不唯一）

14．【答案】3；

15．【答案】；

16．【答案】（1）证明：在正方体中，

因为平面，平面，

所以，即.

因为四边形是正方形，

所以 .

因为平面，

所以平面.

（2）解：如图，建立空间直角坐标系，则，

所以.

由（1）知，平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为，

则所以.  

令，则，所以 .

所以.

由图可知，二面角为钝角，

所以二面角的大小为.

（3）解：设点到平面的距离，，

则.

所以点到平面的距离为.

17．【答案】（1）解：由题意，可得，

选①②：由的最小值为，则，故.

又，即且，所以.

所以.

选①③：由的最小值为-2，则，故.

因为是的一条对称轴，则，，

所以，且，则.

所以.

选②③：因为是的一条对称轴，则，，

所以，且，则.

所以.

又，则.

所以

（2）解：，

上，的最大值为，则，可得，

所以的最小值为.

18．【答案】（1）解：抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是，

用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为.

（2）解：从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为.

的可能取值为0，1，2，3.

，，

，

分布列为

的数学期望.

（3）解：

19．【答案】（1）解：根据题意，

 解得.

所以椭圆C的方程为：

（2）解：由（1）知，.

根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.

由，得.

根据题意，恒成立，设

则.

直线的方程为，

令，得，所以.

因为，

则直线的斜率分别为，

.

又，

，

，

.

所以，

所以三点共线.

20．【答案】（1）解：因为函数，，

所以，.

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，

所以.

则，解得

（2）解：由题意，，

设.

①当时，，在上单调递增，且，

所以，所以在上无零点.

②当时，令，得．

当，即时，，在上单调递增，且，

所以，所以在上无零点.

当时，，

符号变化如下，

所以.

当，即时，，

所以，所以在上无零点.

当，即时，由，，所以至少存在一个零点，所以至少存在一个零点.

综上，若无零点，实数的取值范围为

（3）解：当时，，定义域为．

则．

由（2）可知，当时，，

当时， ，

所以当时，在上恒成立.

此时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以在处取得极小值．

当时，，

当时，，，

所以，单调递减.

此时不是极小值点．即时，不合题意．

综上，满足条件的的取值范围为

21．【答案】（1）解：因为数列满足性质①，且，所以，所以，又因为，即，所以，同理可得：

（2）解：因为数列的通项公式为，

所以，对于任意的，令，则，

.

又，则，即.

又，所以，

即对于任意的.

所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，

所以，数列满足性质①.

（3）解：由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在，

即对于任意的，存在，当时，都有成立，

所以，当时，，

即.

对于任意的，有，

对于任意的，有，

，

又当时，同时满足性质①②的存在且唯一，

所以，当时，，

所以，满足条件的数列是等差数列.