高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精品综合训练题

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

1.2.1《空间向量基本定理》同步练习

一、     单选题：

1.在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则（     ）

     A．，                 B．， 

C．，                 D．，

2.一个结晶体的形状是平行六面体，以顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长度是(       )             

A． B．2 C． D．

3.在三棱锥中，是的中点，且，则（     ）

A． B． 

C． D．

二、填空题:

4.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________.

5.如图，在正方体中，和相交于点，若，则     ．

三、双空题：

6.正方体中，，分别为和的中点．记，，，用，，表示，则             ，异面直线和所成角的余弦值是             ．

7.已知空间向量，，的模分别为，，，且两两夹角均为，点为的重心．若，，，，则             ，             ．

8.已知正方体中，，异面直线与所成角的余弦值是             ；若，则             ．

四、拓展题：

9.已知是平行六面体．

(1)化简，并在图中标出其结果；

(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值．

10．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内.

四、创新题：

11.已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：

  （1）、、、四点共面，、、、四点共面；

（2）．

12.已知是不共面向量，，若三个向量共面，求实数的值．

同步练习答案

一、 选择题：

 1. 答案：A

解析：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，

，

，，   故选A.

2. 答案：D.

解析：，

，     ．故选：D．

3. 答案：C

解析：如图所示，是的中点，且，

则，，，，

．故选：．     

二、单空题：

4. 答案:　，，

 解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋

＝＋＋，         ∴x＝，y＝，z＝.

5.答案：

 解析：，，，．

，

与比较，可得：，，    则．

三、双空题：

6. 答案：，．

解析：正方体中，，分别为和的中点．

记，，，用，，表示，

∴．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，则，，，，，，设异面直线和所成角为，则 ． ∴异面直线和所成角的余弦值为                             

7.答案：，

解析：由题意得，点为的重心，设中点为，则，

∴，，∴，；

∴，．

8.答案： ，．

解析：（法1定义法）

由题意，可得：是的四等分点．

过与的交点作的平行线交于，

过作所的平行线交于，

可得异面直线与所成角的平面角为；

设正方体中的边长为．

可得，，

在中，由余弦定理：

根据向量的运算法则：可得，而，，

，由，则．

（法2向量基底）

设， ，根据向量的运算法则：

，．

 ，

，．

．

（第二空的方法与法1相同）．

四、拓展题：

9. 答案：(1)答案见详解图形       (2)

解析：(1)作中点，延长至，使得，

则

(2)结合向量线性运算的加法与减法运算可得

，

又，      所以.

10. 答案：（1）共面；（2）点在平面内.

解析：（1）由题意，知：，

∴，即，

故共面得证.

（2）由（1）知：共面且过同一点.

所以四点共面，从而点在平面内.

五．创新题：

11．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．

解析：（1）因为，所以，、、为共面向量，

因为、、有公共点，故、、、四点共面，

因为，则、、为共面向量，

因为、、有公共点，故、、、四点共面；

（2），，，

，

，        因为、无公共点，故.

12. 答案：

解析：若向量，，共面，则存在，使得，

∴，

∴        解得．      故答案为：