2022-2023学年湘教版2019必修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷(word版含答案)

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第三章  圆锥曲线与方程 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)1、(4分)设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(    )A.  B.  C.  D. 2、(4分)已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(   )A.  B.C.或  D.或3、(4分)曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是(   )A. B. C. D.4、(4分)已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为(   )A. B. C. D.5、(4分)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(   )A.2 B.3 C.4 D.86、(4分)以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为(   )A.或  B.或C.或 D.或7、(4分)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(   )A. B. C. D.8、(4分)若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（    ）A.4 B.3 C.2 D.19、(4分)“”是“方程表示椭圆”的（       ）A.充要条件     B.充分不必要条件   C.必要不充分条件   D.既不充分也不必要条件10、(4分)若点在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（    ）A. B. C. D.二、填空题(共25分)11、(5分)已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线右支上一点，，O为坐标原点，过点O作的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率，存在实数m满足，则_____.12、(5分)已知抛物线与双曲线（，）有相同的焦点且在第一象限交于点A，F为双曲线的下焦点，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为____________.13、(5分)若椭圆的离心率是，则_____________.14、(5分)过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为_____________.15、(5分)一条光线从抛物线的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为__________.三、解答题(共35分)16、(8分)如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点.（1）若，求抛物线的方程；（2）求的最大值.17、(9分)已知椭圆的离心率为，焦距为.（1）求C的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆c交于两点（点均在第一象限），O为坐标原点，证明：直线的斜率依次成等比数列.18、(9分)已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)设，直线()不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点.19、(9分)已知椭圆过点，且椭圆C的右顶点B到直线的距离为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点且与直线平行的直线l与椭圆C交于两点，求的面积(O为坐标原点).
参考答案1、答案：D解析：由题意可知,代入椭圆方程,
得,为等腰直角三角形.
∴
∴,
∴
解得.2、答案：C解析：当时，；当时，.因此抛物线的焦点可为，.①当焦点为时，设标准方程为，且，；②当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.3、答案：C解析：令，得，故，双曲线的渐近线方程是，选C.4、答案：B解析：若椭圆上存在点P，使得，则以原点为圆心，为直径的圆与椭圆必有交点，所以，即，即，又，所以.5、答案：D解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的一个焦点为，，又，.6、答案：C解析：直线与x轴，y轴的交点分别是，，所以所求抛物线的焦点为或，因此，所求抛物线的标准方程为或.7、答案：A解析：原方程表示双曲线，且焦距为4，①或②由①得，.②无解.故选A.8、答案：C解析：由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论.9、答案：C解析：若方程表示椭圆，则满足，即且，此时成立，即必要性成立，当时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C．10、答案：A解析：设等边三角形的边长为，则，解得．根据抛物线的对称性可知，且，设点在轴上方，则点的坐标为，即，将代入抛物线方程得，解得，故抛物线方程为．故选：A11、答案：解析：当时，代入双曲线可得，由题易得.由相似三角形的性质可知，，则，，整理得.，，解得.12、答案：解析：13、答案：或6解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，则有，，由题意得，解得.②当椭圆的焦点在y轴上时，则有，，由题意得，解得.综上，或.14、答案：解析：由得，双曲线的渐近线方程为.结合图形（图略）知，.故双曲线离心率的取值范围是.15、答案：解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，，，，抛物线的标准方程为.16、答案：（1）（2）解析：（1）由条件知，与联立，消去y，得，则.由抛物线的定义得.又因为，所以，所以抛物线的方程为.（2）解法一：由（1）知，且，设，则M到AB的距离.因为点M在直线AB的上方，所以，则.当时，.故的最大值为.解法二：由（1）知，且，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得.令，得.所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，两平行直线间的距离，故的最大值为.17、答案： （1）（2）见解析解析：（1）由题意可得，解得， 又，所以椭圆方程为. （2）证明：设直线的方程为,由，消去，得，则，且， 故，，即直线的斜率依次成等比数列. 18、答案：(1)(2)见解析解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为，
故可设C的方程为，又C过点，所以，解得，所以C的方程为.(2)显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ为，
，，，
联立，消去x整理得，
依题意得且，即且，且，.
直线AD的方程为，
令，得

.
所以直线AD过定点.19、答案：(1)椭圆C的标准方程为.(2).解析：(1)由题得.因为椭圆C的右顶点到直线的距离为4.所以，解得，故椭圆C的标准方程为.(2)由题意知，，即直线l的方程为，联立，整理得，设，，则，，从而，故的面积.另解：由弦长公式可得,点O到直线l的距离为，故.另解：由弦长公式可得,点O到直线l的距离为，故.