高中数学4.5 函数的应用（二）习题

人教A版2019 必修一 4.5 函数的应用（二）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分(   )

A.8次 B.9次 C.10次 D.11次

2、(4分)已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

3、(4分)在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   ).

A. B. C. D.不能确定

4、(4分)某商品自上市后前两年价格每年递增10%，第三年价格下降了20%，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是(   )

A.不增不减 B.下降了2.8％ C.增加了2.8% D.下降了3.2％

5、(4分)函数的零点所在的一个区间是(   )

A. B. C. D.

6、(4分)函数，在下列区间中，包含函数零点的区间为(   )

A. B. C. D.

7、(4分)已知函数定义域为R，，，当时，，则函数在区间上所有零点的和为(   )

A.7 B.6 C.3 D.2

8、(4分)螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为(   )

A.400 B.600 C.800 D.1600

9、(4分)函数的零点所在的区间为(   )

A. B. C. D.

10、(4分)苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为(   )

（可能用到数值）

A.3.23 B.2.881                C.1.881                D.1.23

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知函数若函数有两个零点，则实数k的取值范围是__________.

12、(5分)土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.

13、(5分)某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.

14、(5分)已知，函数当时，不等式的解集是___________.若函数恰有2个零点，则的取值范围是____________.

15、(5分)，若有三个零点，则的取值范围为__________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

17、(9分)一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.

（1）求每年开采矿山的百分比.

（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？

（3）今后最多还能开采多少年？

18、(9分)某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P（单位：万元）与精加工的蔬菜量x（单位：吨）有如下关系：设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y（单位：万元）.

（1）写出y关于x的函数表达式；

（2）求当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润.

19、(9分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.

参考答案

1、答案：D

解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，，，所以.

2、答案：D

解析：，

，

所以，，

因此，选D.

3、答案：B

解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.

4、答案：D

解析：本题考查函数模型与生活中的应用.设商品原价格为a元，则，下降了.

5、答案：B

解析： 函数 的定义域为 的零点 所在区间是.

6、答案：C

解析：

7、答案：A

解析：由于函数的定义域为R，，，所以，，则函数是周期为2的周期函数，且该函数的图象关于直线对称.对于函数，，所以，函数的图象关于直线对称.令，可得，则问题转化为函数与函数在区间上所有交点的横坐标之和.作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：

设函数与函数在区间上所有交点的横坐标由大到小依次为，，，，，，，由图象可得，且，因此，函数在区间上的所有要点的和为.故选：A.

8、答案：C

解析：本题考查指数函数模型的应用.由题意得，，，则第3年数量.

9、答案：C

解析：

10、答案：B

解析：





所以


的近似值为
 

11、答案：

解析：有两个零点，即有两个根，即函数的图象与直线有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，故k的取值范围为.

12、答案：3

解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.

13、答案：5

解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.

14、答案：；

解析：当时，分段函数的图像如图所示，由图可知不等式的解集是.

当时，如图所示，有2个零点.

当时，如图所示，有2个零点.

综上，当函数有两个零点时，的取值范围是.

15、答案：

解析：作出函数的图象，如图所示，

要使得函数有三个不同的零点，

即函数与图象有三个不同的交点，

，结合图象，可得，即实数的取值范围为.

故答案为：.

16、答案：(1)

(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

解析：(1)当时，；

当时，，

所以

(2)若，

当时，万元.

若，，

当且仅当时，即时，万元.

则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

17、答案：（1）

（2）到今年为止，已开采了6年

（3）今后最多还能开采18年

解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.

（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.

（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.

18、答案：（1）

（2）当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元

解析：（1）由题意知，当时，

；

当时，

.

故

（2）当时，，

所以当时，.

当时，，

所以当时，.

因为，所以当时，.

即当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元.

19、答案：（1）

（2）当时，单调递减；当时，单调递增

解析：（1）由题意知，当时，

，

令，

即，

解得（舍去）或，

时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.

（2）当时，；

当时，.

当时，单调递减；

当时，单调递增.

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；

有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.