高中数学必修二 第十章 概率 章末测试（提升）(含答案)

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第十章 概率 章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·甘肃·张掖市第二中学)一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，所以,故选：C2．(2021·福建三明·高一期末)袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411   231   324   412   112   443   213   144   331   123114   142   111   344   312   334   223   122   113   133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.故选：B3．(2021·云南昆明·高一期末)已知一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，那么下列事件概率错误的是(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：，所以，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，所以，故C正确；对于选项D：，所以，故D错误.故选：D.4．(2021·湖南·长沙一中高一月考)下列说法正确的个数有(    )(1)掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M=“出现偶数点”，N=“出现3点或 6 点”.则 和 相互独立；(2)袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，则“两球同色”的概率是 ；(3)甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；(4)柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是 ；A． B．2  C．3 D．4【答案】C【解析】对于(1)：掷一枚质地均匀的的骰子一次，，，，即，故事件和相互独立；(1)正确；对于(2)：袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，若“两球同色”则都是白球，则“两球同色”的概率是 ，(2)错误；对于(3)：“至少一人中靶”的概率为，(3)正确；对于(4)：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有种，取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15-3=12种，所以“取出的鞋不成双”的概率是，(4)正确综上可知正确的有(1)(3)(4)故选：C5．(2021·江苏·高一单元测试)下列命题中正确的是(    )A．事件发生的概率等于事件发生的频率B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥【答案】C【解析】对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确；对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误. 6．(2021·江苏南通·高一期末)已知,,则函数在区间上为增函数的概率是A． B． C． D．【答案】A【解析】,,∴基本事件总数.用表示的取值.若函数在区间上为增函数,则①当时,,符合条件的只有,即,;②当时,则由题意，只需满足,符合条件的有,,,,共4种.∴函数在区间上为增函数的概率.故选：A 7．(2021·江苏·高一单元测试)一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B. 8．(2021·全国·高一课时练习)连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为【答案】D【解析】对于A,,则概率为,选项错误;对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;综上可得,选D.二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·辽宁·建平县实验中学高一月考)某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：(    )A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为【答案】BCD【解析】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为，则独立.∴两人均获得满分的概率为:,故正确;两人至少一人获得满分的概率为:，故错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为:，故错误；两人至多一人获得满分的概率为:，故错误.故选：.10．(2021·湖南张家界·高一期末)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是(    )A．与是互斥事件 B．与是对立事件C． D．与是相互独立事件【答案】CD【解析】由事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即M与N相互独立，易得，，所以,且，综上，选项C和选项D正确.故选：CD.11．(2021·江苏省天一中学高一期末)下列说法正确的是(    )A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B．若，是互斥事件，则，C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】BCD【解析】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A错；对于B，若，是互斥事件，则，，故B正确；对于C，高级教师应抽取人，故C正确；对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D正确.故选：BCD.12．(2021·山东烟台·高一期末)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则(    )A． B． C． D．【答案】ACD【解析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以，能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，．故选：ACD．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·全国·高一专题练习)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为 14．(2021·安徽舒城·高一期末)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：488  932  812  458  989  431  257  390  024  556734  113  537  569  683  907  966  191  925  271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.【答案】0.3【解析】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，所求概率为．故答案为：0.315．(2021·全国·高一课时练习)一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程有实数根的概率是________．【答案】【解析】由题意知：基本事件共有个方程有实根        其对立事件为：，包含：，，共个基本事件所求概率为本题正确结果： 16．(2021·山东莱西·高一期末)一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为，，，当且仅当，，中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”(如213，341等)．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．【答案】．【解析】从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为，1，2，3，4这四个数字中两个的和等于第三个的有123，134，因此“有缘数”个数为，所示概率为．故答案为：．四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·全国·高一课时练习)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：(1)求样本中患病者的人数和图中a，b的值；(2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；(3)某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.【答案】(1)患病者的人数为40，，；(2)31450；(3).【解析】(1)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.，.(2)由(1)可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者(人)，未患病者(人)，共37人.故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.(3)当时，在100个样本数据中，有(名)患病者被误判为未患病，有(名)未患病者被误判为患病，因此判断错误的概率为.18．(2021·安徽·定远县育才学校高一期末)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.(3)从成绩是分以上(包括分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.【答案】(1)，；(2)，，；(3).【解析】(1)根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，则这一组的频率为，其频数为；(2)这次竞赛的平均数为，一组的频率最大，人数最多，则众数为，分左右两侧的频率均为，则中位数为；(3)记“取出的人在同一分数段”为事件，因为之间的人数为，设为､､､，之间有人，设为､，从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，则.19．(2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求(1)“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;(2) “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;(3) “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;【答案】(1)；(2)；(3).【解析】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =，P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =，(1)P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.(2)P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=.(3)P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.20．(2021·陕西王益·高一期中)已知函数．(1)若，都是从集合中任取的一个数，求函数在上单调递减的概率；(2)若是从集合中任取的一个数，是从集合中任取的一个数，求方程在区间上有实数根的概率．【答案】(1)；(2).【解析】(1)记函数在区间上单调递减为事件A．由于a，b都是从集合中任取的一个数，基本事件有，，，，，，，，，共9种．因为的取值为正数，所以函数图象开口向上，若函数在区间上单调递减，则有，即，，满足条件的有，，，，，，所以事件A包含其中的6个基本事件．所以所求的概率为． (2)记方程在区间上有实数根为事件B．由于a是从集合上任取的一个数，b是从集合上任取的一个数，基本事件有，，，，，，，，，，，，共12种.由题意知，，所以方程在区间上有实数根，则有，即，满足条件的有，，，，，所以事件B包含其中的5个基本事件，所以所求的概率为．21．(2021·广东江门·高一期末)已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.(1)列举数对的样本空间；(2)记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；(3)记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由题意可得，，，数对的样本空间为；(2)若二次函数的单调递增区间为，则二次函数的对称轴，即，由(1)可得，总的基本事件个数为20个，符合的基本事件为：，，，共4个，所以；(3)因为，二次函数的图象开口向上，方程有4个零点，即方程和各有2个零点，等价于二次函数的最小值小于，所以，即，样本空间中符合的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，所以.22．(2021·广东东莞·高一期末)4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图：(以各组的区间中点值代表该组的各个值)男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533(1)从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；(3)估计总样本的平均数和方差.参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中.【答案】(1)；(2)，；(3)，.【解析】(1)一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，，则样本空间，记事件“恰好一男一女”，则，所以，所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为；(2)估计男生一周课外阅读时间平均数；估计女生一周课外阅读时间的平均数.(3)估计总样本的平均数，∵，∴，，，，∴，所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3.