数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算导学案

 6.2.2  向量的减法运算

【学习目标】

【自主学习】

一．相反向量

二.向量的减法

思考：已知不共线的两个向量a，b，a＋b与a－b的几何意义分别是什么？

三．|a－b|与|a|，|b|之间的关系

(1)对于任意向量a，b，都有      ≤ |a－b| ≤      ；

(2)当a，b共线，且同向时，有|a－b|＝     或      ；

(3)当a，b共线，且反向时，有|a－b|＝____．

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)相反向量一定是共线向量．(　√　)

(2)两个相反向量之差等于0.(　　)

(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)

(4)两个向量的差仍是一个向量．(　　)

2.设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)

A．a与b的长度相等   B．a∥b

C．a与b一定不相等   D．a是b的相反向量

【经典例题】

题型一  向量加减法法则的应用

点拨：

例1 化简(－)－(－)．

【跟踪训练】1 化简：

(1)－＋－；

(2)(＋＋)－(－－)．

题型二  利用已知向量表示其他向量

点拨：三个技巧

 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．

(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．

例2 如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．

【跟踪训练】2 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则＝________.

题型三 向量减法的应用

例3已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．

【跟踪训练】3（1）已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为            。

分析：注意向量a＋b，a－b的几何意义．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．

（2）在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有(　 　)

A．＝0　　　　　　 B．＝0或＝0

C．四边形ABCD为矩形 D．四边形ABCD为正方形

【当堂达标】

1．化简－＋－得(　 　)

A． B．

C． D．0

2．在□ABCD中，－等于(　 　)

A． B．

C． D．

3．(多选题)对于菱形ABCD，下列各式正确的是(　　)

A．＝                          B．||＝||

C．|－|＝|＋|               D．|＋|＝|－|

4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．

5．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．

6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．

【课堂小结】

知识点：

1.相反向量     2.向量减法        3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系

题型：

1. 向量加减法法则的应用      2.利用已知向量表示其他向量

3.向量减法的应用

【参考答案】

【自主学习】

一．相等  相反   0 －b  0

二．相反向量   终点 终点

思考：如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．

三．||a|－|b||     |a|－|b|      |a|－|b|   |a|＋|b|

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.C 可能为零向量，此时C选项错误。

【经典例题】

例1 [解析]　方法一(统一成加法)　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.

方法二(利用减法)　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.

【跟踪训练】1 解：(1)－＋－＝＋－＝－＝.

 (2)(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0.

例2  a－b＋c解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c.

【跟踪训练】2  b－a＋c

解析：∵四边形ACDE为平行四边形，∴＝＝c，＝－＝b－a.

∴＝＋＝b－a＋c.

例3 [2,6)　解析：根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.

【跟踪训练】3 （1）平行四边形

[解析]　∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝.

∴||＝||，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）C 解析：因为|＋|＝|－|，所以||＝||，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形．故选C.

【当堂达标】

1.D [解析]　原式＝(－)＋(＋)＝＋＝0.

2.A [解析]　－＝，在□ABCD中，＝.

3.BCD　解析

菱形ABCD中，如图，||＝||，∴B正确．

又|－|＝|＋|＝|＋|＝2||，

|＋|＝|＋|＝2||＝2||，

∴C正确；又|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||＝||，∴D正确；A肯定不正确，故选BCD．

4. b－c解析：＝＝＝－＝b－c.

5. [3，17]

解析：因为＝－，所以||＝|－|.

又≤|－|≤||＋||，即3≤|－|≤17，所以3≤||≤17.

6.解：因为－＋－＝＋，－＝＝－.

又|－|＝|－＋－|，

所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．