苏科版七年级上册4.3 用一元一次方程解决问题精品课堂检测

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4.3
用一元一次方程解决问题
知识梳理
1用一元一次方程解决实际问题的基本过程
实际问题-设未知数,列方程→一元一次方程-解方程→一元一次方程的解(x=a)-检验→实际问题的答案.
这一过程一般包括审、设、列、解、检、答等步骤.
2.列方程解决实际问题的思想
3常见列方程解应用题的几种类型
(1)等积变换问题
解这类题的关键是要抓住:形变体积不变，即物体的形状改变了，但是所占体积不变.利用体积相等列式即可.
(2)行程问题
基本量、基本数量关系:路程=速度x时间.
相向问题:寻找相等关系的方法:甲走的路程+乙走的路程=两地距离。
追及问题:寻找相等关系的方法有两种情况:第一,同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
航行问题
基本量、基本数量关系:路程=速度x时间,顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度。
寻找相等关系的方法:抓住两码头之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变的特点来考虑.
(3)工程问题
数量关系及公式:工作量=工作效率x工作时间;工作效率=工作量+工作时间;工作时间=工作量+工作效率.相等关系:一般情况下,把总工作量设为1.
例题剖析
【例题1】
某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元B．7.5元C．7.6元D．7.7元
【答案】C
【分析】
设该商品每件的进价为x元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例题2】
观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】A
【分析】
根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，，第个相同的数是，进而可得的值．
【详解】
解：第1个相同的数是，
第2个相同的数是，
第3个相同的数是，
第4个相同的数是，
，
第个相同的数是，
所以，
解得．
答：第个相同的数是103，则等于18．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键．




好题速递
基础巩固
1．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧称盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码，现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可．
【详解】
解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，
根据题意得：m=n+40；
设被移动的玻璃球的质量为x克，
根据题意得：m-x=n+x+20，
x=（m-n-20）=（n+40-n-20）=10．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系．
2．有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第三天走的路程为（ ）
A．96里B．48里C．24里D．12里
【答案】B
【分析】
设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，根据六天共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，
依题意，得：4x+2x+x+x+x+x=378，
解得：x=48．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为（ ）
A．230元B．250元C．270元D．300元
【答案】B
【分析】
设该商品的售价为x元，根据按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，列方程求出售价，继而可求出成本．
【详解】
解：设该商品的售价为x元，
由题意得，0.75x+25=0.9x-20，
解得：x=300，
则成本价为：300×0.75+25=250（元）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．
4．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】
解：设有x辆车，则可列方程：
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
5．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（ ）
A．98+x＝x﹣3B．98﹣x＝x﹣3C．（98﹣x）+3＝xD．（98﹣x）+3＝x﹣3
【答案】D
【分析】
直接根据两班人数正好相等列方程即可．
【详解】
解：设甲班原有人数是x人，
（98﹣x）+3＝x﹣3．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查根据等量关系列方程，解题的关键是找出等量关系．
6．一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是（ ）
A．120元B．125元C．135元D．140元
【答案】B
【分析】
设每件的成本价为x元，列方程求解即可.
【详解】
设每件的成本价为x元，
，
解得x=125，
故选：B.
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，正确理解题意是列方程解决问题的关键.
7．一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由题意可知，甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据量关系，甲单独完成的部分＋两人共同完成的部分=1，根据等量关系列出方程，选出正确答案即可．
【详解】
解：设两人合作天完成这项工程，根据题意可列的方程：
故选：D．
【点睛】
本题考查一元一次方程的运用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题关键．
8．一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
首先理解题意找出题中存在的等量关系：成本价×(1+40%)×80%=售价240元，根据此列方程即可．
【详解】
设这件商品的成本价为x元，成本价提高40%后的标价为x(1+40%)，再打8折的售价表示为x(1+40%)×80%，又因售价为240元，
列方程为：x(1+40%)×80%=240,
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．
9．2020年初新冠疫情肆虐，社会经济受到严重影响．地摊经济是就业岗位的重要来源．小李把一件标价60元的恤衫，按照8折销售仍可获利10元，设这件恤的成本为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设这件恤的成本为元，列出一元一次方程即可；
【详解】
解：设这件恤的成本为元，
根据题意，可得：．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
10．为了提倡节约用水，采用“阶梯水价”收费办法：每户用水不超过5方，每方水费元，超过5方，超过部分每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于的方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据应交水费=5×不超过5方时的每方水费+超出5方的部分×超过5方时的每方水费，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：，
即．
故选：．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．





能力提升
1．如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（ ）
A．63B．72C．99D．110
【答案】A
【分析】
设出正方形的边长，进而表示出其他正方形的边长，根据长方形的长相等列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出长方形的面积即可．
【详解】
解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
根据图形得：，
解得：，
则长方形的面积为．
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，弄清图形中的数量关系是解本题的关键．
2．小王家今年甲苹果园有苹果9000千克，乙苹果园有苹果6000千克，因客户订单要求，需要从乙苹果园运部分苹果到甲苹果园，使甲苹果园苹果数量刚好是乙苹果园的2倍．设从乙苹果园运苹果x千克到甲苹果园，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设从乙苹果园运苹果x千克到甲苹果园，根据“甲苹果园苹果数量刚好是乙脐苹果的2倍”列出方程，此题得解．
【详解】
解：设从乙苹果园运苹果x千克到甲苹果园，
则，
故选：D．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元一次方程，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
3．在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数m，2，将点M向右平移1个单位长度，得到点P，若PO＝NO，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【答案】D
【分析】
M向右平移1个单位后，表示的数是m＋1，根据PO＝NO列方程即可解得m的值．
【详解】
解：∵点M表示数m，将点M向右平移1个单位长度得到点P，
∴平移后P表示的数是m+1，
∵N表示数2，PO＝NO，
∴m+1与2互为相反数，即m+1＝﹣2，
∴m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】
本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是用含m的代数式表示P表示的数．
4．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
要列方程，首先根据题意找出等量关系，列出方程，解得即可．
【详解】
由题意得，，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题关键是弄清题中存在的等量关系，且应该理解获利25%的含义．
5．某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】
设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设赚钱的衣服的进价为x元，
依题意，得：600﹣x＝25%x，
解得：x＝480，
故①正确；
设赔钱的衣服的进价为y元，
600﹣y＝﹣25%y，
解得：y＝800，
故②正确；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，
∴这两件衣服售出后商店亏了80元，
故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．《九章算术》中有一道题：今有人共买羊，人出七，不足三；人出八，盈十六，问人数、羊价几何？译文为：现在有若干人共同买一头羊，若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱．求买羊的人数和这头羊的价格？设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．7x+3＝8x+16B．7x﹣3＝8x﹣16C．7x+3＝8x﹣16D．7x﹣3＝8x+16
【答案】C
【分析】
设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x+3）钱或（8x﹣16）钱，根据羊的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】
解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为7x+3＝8x﹣16，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，列出等量关系是解题的关键．
7．某种商品的进价为120元，若按标价九折降价出售，仍可获利20%，该商品的标价为（ ）
A．140元B．150元C．160元D．170元
【答案】C
【分析】
设该商品的标价为x元，根据若按标价九折降价出售，仍可获利20%，列出方程，求解即可．
【详解】
设该商品的标价为x元，
0.9x＝120×（1+20%），
解得：x＝160，
答：该商品的标价为160元，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，找出题目中的等量关系，列出方程．
8．某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（ ）
A．150 米B．215米C．265 米D．310米
【答案】C
【分析】
先将12秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可，注意单位换算．
【详解】
解：12秒＝小时，150米＝0.15千米，
设火车长x千米，根据题意得：
×(4.5+120)＝x+0.15，
解得：x＝0.265，
0.265千米＝265米．
答：火车长265米．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，找到正确的等量关系．
9．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．设这个班有学生x名，根据题意列方程正确的是（ ）
A．B．
C．3x＋20＝4x﹣20D．3x﹣20＝4x＋20
【答案】C
【分析】
根据这批图书的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得：3x＋20＝4x﹣20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．一件商品按成本价提高 40％后标价，再打 8折（标价的 80％）销售，售价为 240元，设这件商品的成本价为 x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
首先理解题意找出题中存在的等量关系：成本价×（1+40%）×80%＝售价，根据此列方程即可．
【详解】
解：设这件商品的成本价为x元，成本价提高40%后的标价为x（1+40%），再打8折的售价表示为x（1+40%）×80%，又因售价为240元，
列方程为：x（1+40%）×80%＝240．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打8折的含义．
11．某商场以5元/件的价格购进一批某种小商品，由于销售良好，该商场又再次购进同一种小商品，第二次进货价格比第一次每件优惠10%，所购进小商品数量恰好是第一次购进小商品数量的2倍，这样该商场两次购进这种小商品共花去1400元，求第二次购进这种小商品的数量．
【答案】第二次购进这种小商品200件
【分析】
先求出第二次进货价格，设第一次购进小商品x件，则第二次购进小商品2x件，根据第一次购买费用+第二次购买费用=1400列方程求解即可．
【详解】
解：依题意，第二次进货价格为5×（1﹣10%）=4.5（元/件），
设第一次购进小商品x件，则第二次购进小商品2x件，
根据题意，得：5x+4.5·2x=1400，
解得：x=100，
2x=2×100=200（件），
答：第二次购进这种小商品200件．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解答的关键．
12．设x､y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算为：
（1）填空：__________，__________；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）15；-8；（2）2
【分析】
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】
.解：（1）根据题中的新定义得：
2×5+3×2﹣1
＝10+6﹣1
＝15；
3×（-3）+2×1﹣1
＝-9+2﹣1
＝-8；
故答案：15，；
（2）∵，
∴
．
∴m的值为2
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

中考真题
1．已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（ ）
A．不盈不亏B．盈利20元C．盈利10元D．亏损20元
【答案】B
【分析】
设分别设两件运动衫的进价分别是a元，b元，根据售价=成本±利润，列方程求得两件运动衫的进价，再计算亏盈．
【详解】
解：设盈利60%的运动衫的进价是a元，亏本20%的运动衫的进价是b元．则有
（1）a（1+60%）=160，
a=100；
（2）b（1-20%）=160，
b=200．
总售价是160+160=320（元），总进价是100+200=300（元），
320-300=20（元），
所以这次买卖中商家赚了20元．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用．培养学生的理解题意的能力，关键是根据利润=售价-进价，求出两个商品的进价，从而得解．
2．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A．B．0C．3D．
【答案】A
【分析】
由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数
【详解】
解：∵
∴，两点对应的数互为相反数，
∴可设表示的数为，则表示的数为，
∵
∴，
解得：，
∴点表示的数为-3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程．
3．古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意列方程．
【详解】
解：由题意可得．
故选C
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【详解】
解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】
本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
5．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升B．16升C．18升D．50升
【答案】C
【分析】
先进行单位换算，再利用50单位的粟，可换得30单位的粝米的关系，建立方程，求解即可．
【详解】
解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，
设其可以换得粝米为x升，
则，
∴，
∴可以换得粝米为18升；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找到相等关系，即“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”，要求学生能将题干的文字内容转化为数学符号的形式，能正确理解题意，找到相等关系，列出方程．
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为（），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意可直接列出方程进行排除选项即可．
【详解】
解：由题意得：
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】
分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．
【详解】
解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，
∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．
8．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可．
【详解】
设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元，
由题意：，
故选：A．
【点睛】
本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键．
9．由于换季，超市准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元；而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（ ）
A．300元B．270元C．250元D．230元
【答案】A
【分析】
七五折售价+亏损25元=九折售价-盈利的20元，根据此成本不变等量关系列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：75%x+25=90%x-20，
解得：x=300，
则该商品的原售价为300元．
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
10．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文 明文（解密）．已知加密规则为：明文对应的密文a+1,b+4,3c+9．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（ ）
A．4，5，6B．6，7，2C．2，6，7D．7，2，6
【答案】B
【详解】
解：根据题意得：a+1=7，
解得：a=6．
2b+4=18，
解得：b=7．
3c+9=15，
解得：c=2．
故解密得到的明文为6、7、2．故选B．