人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时教案

导入新课

据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1+2+3+4+…+100=？

其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=10150=5050

高斯的算法实际上解决了求等差数列

1，2，3，…，n，…   ①

前100项的和的问题.

数学史导入

高斯，德国数学家，近代数学的奠基者之一，他在天文学、大地测量学、磁学、光学等邻域都做出过杰出贡献.

通过了解历史上高斯的故事，提出等差数列求和问题

讲授新课

思考

你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？

对于数列①，设, 那么高斯计算方法可以表示为

.

可以发现，高斯在计算中利用了

这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算.

将上述方法推广到一般，可以得到：

当n是偶数时，有

，

于是有

当n是奇数时，有

所以，对于任意正整数n，都有

思考

我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？

如果对公式

作变形，可得

它相当于两个相加，而结果变成n个（n+1）相加.

受此启发，我们得到下面的方法：

，

，

将上述两式相加，可得

所以

探究

上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前n项和吗？

可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，将两式相加，得到n个相同的数（即n+1）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.

对于等差数列 ，因为

，

由上述方法得到启示，我们用两种方式表示

    ①

  ②

①+②,得

由此得到等差数列的前n项和公式

(1)

对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项 ，就可以求得前n项和.另外，如果已知首项和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和d来表示.

把等差数列的通项公式代入公式（1），可得

     (2)

等差数列的前n项和公式

思考：

1. 等差数列前n项和的公式（1）和公式（2）有什么共同点和不同点：

提示：共同点是两个公式均为等差数列的求和公式，均需知道 .

不同点是 还需知道，

还需知道d，解题时根据已知条件决定选用哪个公式.

①两个公式一共涉及五个量. 通常已知其中三个，可求得其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题形式之一

②当已知首项，末项，项数n时，用公式. 用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如,从而有

思考：

2． 等差数列中， 与 相等吗？表示什么意义？

提示：相等，表示等差数列前n项的平均数.

思考

3. 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？

提示：从等差数列前n项和的定义及通项公式入手

例6 已知数列是等差数列.

（1）若，，求 ；

（2）若，，求；

（3）若， , ，求n.

分析：

对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式 中的， 和，解方程即可求得n.

解：

（1）因为，，根据公式

，可得

.

（2）因为，，

所以 .根据公式，可得

（3）把， , 代入

得

整理，得

解得 n=12，或n=-5（舍去）

所以  n=12

例7  已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？

分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得.

解：由题意，知

， .

把它们代入公式

，

得

解方程组，得

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.

一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.

探究

已知数列的前n项和为，其中 为常数，且 . 任取若干组，在电子表格中计算的值（图4.2-3给出的情况），观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.

观察C列，显然，是等差数列。

思考：

已知数列的前n项和为，其中 为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是多少？

分析：

∵ 当时，

当n=1时，

   又 ∵ 当n=1时，

∴当且仅当r=0时，满足

故只有当r=0时，该数列才是等差数列，

此时，首项，公差

当 时，不满足 ，此时，数列不是等差数列.

结论：

数列是等差数列 (p、q为常数)

课堂练习：

1 （改编例7）已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗？

解法1：由题意知

， .

∴ 

解得:  

于是 得

    ∴

解法2：

 设 则

得： 

∴

2 在等差数列中，

（1）          已知，，求；

（2）          已知， 求 .

解：

（1）法1： ∵ ，

   ∴ ，

     得 ，

   ∴

   法2： 

   ∴  即

   ∴  ，

  ∴

（2）法1：

∵ ，

∴

    ∴

   法2:

  ∵

    ∴

  ∴

3  已知是数列的前n项和，根据条件求.

（1）          ;

（2）          .

  解：

    （1）当 n＝1 时，，

        当时，

 又  不适合上式，

所以

（2）当 n＝1 时，，

       当时，

显然， 适合上式.

所以.

注:

(1)已知求，其方法是 ，这里常常因为忽略条件“”而出错

(2)在书写的通项公式时，务必验证n＝1是否满足的情形．如果不满足，则通项公式只能用表示．　　　  

4 若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为________．

答案：2A

解法1：

数列 的前n项和为，所以当时，，当n＝1时满足，所以d＝2A.

解法2：（结构特征法）

设d为数列的公差，

因为

    所以，得d＝2A.

学生思考、讨论

注意：

首尾配对要分奇、偶数讨论

注意：

倒序相加法可避免分类讨论

引导学生从几何上体会倒序求和的方法

探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和问题，从而用乘法运算简化了求和运算

让学生经历从特殊到一般，分类讨论等思想方法，掌握等差数列求和公式的推导，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养

引导学生将公式变形，通过变形后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法

总结倒序求和的方法

例题巩固

课堂小结

1等差数列的前n项和公式

2例题巩固

板书

1等差数列的前n项和公式

2 例题巩固

3 课堂练习

教学反思