人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时教学设计及反思

导入新课

1 等差数列前n项和公式？

提示：

①推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”.

②方程（组）思想的应用，“知三求一”，“知三求二”.

③    

  等差数列前n项和可以转化为关于n的一元二次函数或一次函数(d=0) .

复习导入

复习上一节所学的内容，为本节课的继续深入奠定基础

讲授新课

拓展

等差数列前n项和的常用性质

设等差数列的前n项和为 ，则

1. 数列是等差数列 (p、q为常数) 数列是等差数列.

2. 等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列.

3. 若表示奇数项的和， 表示偶数项的和，公差为d，

① 当项数为偶数2n时，

，  

②当项数为偶数2n-1时，

，  ,

例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.

分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列. 设数列的前n项和为.由题意可知，是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.

解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且 .

  由，可得

.

因此，第1排应安排21个座位.

例9  已知等差数列的前n项和为，若，公差d=-2，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.

分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数 ，使得当时，，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.

另一方面，等差数列的前n项和公式可写成

所以当 时，可以看成是二次函数

当 时的函数值.

如图4.2-4，当 时，关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求出相应的的值.

解法1 由，得

所以是递减数列.

又由，可知：

当时，；

当 时，；

当 时，.

所以

.

也就是说，当n=5或6时，最大.

因为，

所以的最大值为30.

解法2：  因为，

所以，当n取与最接近的正数即5或6时，最大，最大值为30.

思考

在例9中，当d=-3.5时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题.

提示：结合对应的二次函数知，有最大值，当n=3时，取到最大值.

拓展：

等差数列前n项和的最值

（1）二次函数法：

将配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意

当 时，有最小值；

当 时，有最大值；

且n取最接近对称轴的自然数时，取到最值.

（2）图象法：

利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使取得最值.

（3） 邻项变号法：

当时，满足 的项数n使取得最大值.

当时，满足 的项数n使取得最小值.

课堂练习：

1（例题改编）

已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求第21项到第30项的和.

解法1：

设等差数列的首项为，公差为d，得

， .

 所以

解方程组，得

所以 ，于是

所以第21项到第30项的和为1510.

解法2：

数列，， 构成等差数列

即310，910，成等差数列

所以

所以

2在等差数列中，，，则此数列前20项的和等于多少？

解：等差数列中，

∵ ，，

∴ ，

∴ ，

∴此数列前20项的和

所以，此数列前20项的和等于320.

3 已知数列， 均为等差数列，其前n项和分别为，且，则

解： 由等差数列的性质知

    .

4 等差数列共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．

    解法1：

∵ ，

∴

∴
 

解得 n=10

解法2：

由题意可得

上面两式相比，得

 解得 n=10

5 在等差数列中，设为其前n项和，且，当取得最大值时，n的值为____.

   解法1：（函数法）

由，可得

  即 从而                               

因为 ，所以

故当n=7时， 最大.

解法2：（邻项变号法）

由解法1 知

欲使 最大，则需

即

解得

故当n=7时， 最大.

解法3：（ 等差数列的性质）

依题意，数列单调递减，公差.

因为

所以

又

即

故当n=7时，

故当n=7时， 最大.

通过等差数列前n项在实际问题中的应用，发展学生数学抽象、数学建模的核心素养

课堂小结

等差数列前n项和的常用性质

1. 数列是等差数列 (p、q为常数) 数列是等差数列.

2. 等差数列的依次k项之和，公差为的等差数列. 

等差数列前n项和的最值

（1）二次函数法：

（2）图象法：

（3） 邻项变号法： 

板书

1等差数列前n项和的常用性质

2例题

3等差数列前n项和的最值

    4课堂练习

教学反思