高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时教案

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   等比数列的性质及应用教学设计 课题 等比数列的性质及应用单元第一单元学科数学年级高二教材分析《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。     数列是刻画离散现象的函数，作为重要的数学模型，具有承上启下的作用。数列的教学内容及过程为学生核心素养发展提供生长点，培养学生的数学思维。 教学目标与核心素养1数学抽象： 等比数列的性质2逻辑推理： 等比数列性质的推导3数学运算： 等比数列性质的运用4数学建模： 应用等比数列解决实际问题5直观想象： 等比数列的性质及其与指数函数的关系6数据分析： 等比数列的性质及推导、运用，提高学生数学判断以及参与数学活动的能力重点等比数列的性质、等比数列的应用难点等比数列的运算、等比数列的性质及应用 教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课 温故知新 等比数列等差数列定义公比（公差）q不可以是0d可以是0等比（差）中项等比中项 等差中项 2A=a+b通项公式性质若m+n=p+q 问题：等比中项与等差中项的区别？提示：（1）只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项（2）两个数a,b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.    复习导入         通过与等差数列进行对比，发展学生类比思维能力，加强记忆。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。   讲授新课拓展1两个等比数列合成数列的性质若数列，均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列也为等比数列. 例4  用10 000 元购买某个理财产品一年.（1）          若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）          若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和 构成等比数列.解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则是等比数列，首项，公比q=1+0.400% ，所以所以，12个月后的利息为（元） （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为1+r，于是因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元.解不等式，得所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 例5  已知数列的首项 .（1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；（2）若，公比为 ，证明数列为等差数列.分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.证明：（1）由， d=2，得的通项公式为 .设 ，则又 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列.（2）由， ，得两边取以3为底的对数，得所以又 所以，是首项为1，公差为-2的等差数列. 思考（1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？（2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？提示：（1）设 的首项为，公差为d，则 . , 则 ， 又因为，所以常数 故是首项为，公比为的等比数列.    （2）设数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),则数列的各项分别为对各项分别取以b为底的对数，得  即这就形成首项是，公差是的等差数列 拓展等比、等差数列的两个性质：（1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是等比数列.（2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 例6  某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.  1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各有不合格品的数量构成数列. 由题意可知，数列是等比数列，是等差数列。由于数列既非等差数列，又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 解： 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.由题意，知其中，n=1,2,…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）      表 4.3-1n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 时，递减，且即可.由得 所以，当 时，递减又 所以，当时，所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100以内. 课堂练习：1（等比数列的性质）(1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　)A． 　B．   C．  D． (2)在等比数列，， ，则等于________．解：　(1)设这n＋2个数为  且，，则 (2)因为, 所以 又因为 , 所以 因为 ，所以q=2 .所以  答案:　(1)A　(2)256 2 设是等比数列，且，，则    A．12　B．24   C．30  D．32   解：是等比数列，且，则，即q=2，所以故选：D 3 在正项等比数列中，  则  解：根据题意，正项等比数列中，则 则   答案：10 4已知均为正项等比数列，分别为数列的前n项积，且则的值为____.  解：数列均为正项等比数列，设它们的公比分别为q，m，分别为数列的前n项积，因为  所以    ，   解得  由   解得 所以    则    答案： 
5 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2  , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.  解：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以，则，同理故数列是首项，公比为的等比数列，故 答案：                                                                                                  为什么 ？                        运用等比数列的知识解决实际问题，发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养。                      例题巩固加深对等比、等差数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。               探究与等比、等差数列相关的性质                 例题巩固         考查数列的通项公式的求法，数列的单调性的应用，提高学生转化思想以及计算能力      课堂小结1复习2拓展3例题4课堂练习   板书1温故知新2拓展3例4~64课堂练习    教学反思