高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第2课时达标测试

第四章数列

4.3　等比数列

4.3.1　等比数列的概念

第2课时　等比数列的性质及应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.在等比数列{an}中,a2=27,q=-,则a5=(　　)

A.-3 B.3 C.-1 D.1

解析等比数列{an}中,a2=27,q=-,

则a5=a2·q3=-1,故选C.

答案C

2.已知等比数列{an}中,a3=4,a7=9,则a5=(　　)

A.6 B.-6 C.6.5 D.±6

解析由等比数列的性质可得:奇数项的符号相同,

∴a5==6.

答案A

3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a15a5+a14a6=20,若=10,则m=(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

解析依题意,数列{an}是等比数列,且a15a5+a14a6=2=20,所以=10,所以m=10.故选B.

答案B

4.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(　　)

A.12 B.10

C.1+log35 D.2+log35

解析因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.

答案B

5.在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于(　　)

A.-213 B.213 C.26 D.-26

解析因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13==(-2)13=-213.

答案A

6.(多选)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为(　　)

A.-36 B.36 C.-36 D.36

解析设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6==8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36.故选CD.

答案CD

7.在正项等比数列{an}中,a1a3=9,a5=24,则公比q=　　　　　. 

解析在正项等比数列{an}中,a1a3=9,a5=24,可得=9,a2=3,得q3==8,解得q=2.

答案2

8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为　　　　　. 

解析设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石,∴+28+28q=98,∴q=2或.

又0<q<1,∴q=.

答案

9.等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11,②a3·a4=,③三个数a2,,a4+依次成等差数列.试求数列{an}的通项公式.

解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=,所以解得时,q=2,所以an=·2n-1,

这时a2+a4+,2,所以a2,,a4+成等差数列,故an=·2n-1.

当时,q=,an=·26-n,a2+a4+≠2,不符合题意.故通项公式an=·2n-1.

10.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.

解设数列{an}的首项为a1,公比为q,

∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,

∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.

∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,

∴log2a1·log2a3=-3,∴log2·log2a2q=-3,

即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,

即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,

解得log2q=±2.

当log2q=2时,q=4,a1=,

所以an=×4n-1=22n-3;

当log2q=-2时,q=,a1==8,

所以an=8×=25-2n.

能力提升练

1.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值为(　　)

A.-5 B.- C.5 D.

解析∵log3an+1=log3an+1,∴=3,

∴数列{an}是等比数列,公比q=3,∴lo(a5+a7+a9)=lo(a2q3+a4q3+a6q3)=lo[(a2+a4+a6)q3]=lo(9×33)=-5.

答案A

2.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a (　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

解析设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,…,an=1.1na.依题意,得1.1na>2a,即1.1n>2,解得n≥8.

答案C

3.在正项等比数列{an}中,a3=2,16=a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是(　　)

A.T3 B.T4 C.T5 D.T6

解析依题意,数列{an}是等比数列,所以16=a2a6=,所以q2=.又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=,所以an=a3·qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<,因为n∈N*,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选A.

答案A

4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36的值为　　　　　. 

解析由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且=2,故a36=4×24=64.

答案64

5.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=　　　　　. 

解析设数列{an}的公比为q,

由a1a2a3==4与a4a5a6==12可得=(q3)3,q9=3.

又an-1anan+1==(a2qn-2)3=324,

因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.

答案14

6.在公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则a7=　　　　　,b6b8=　　　　. 

解析∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,

又b7=a7≠0,

∴b7=a7=4.∴b6b8==16.

答案4　16

7.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.

(1)求实数a1和d的值.

(2)b16是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.

解(1)设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.

由

即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).

以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.

解得d3=1或d3=-2.

∵d≠1,∴d3=-2.

∴d=-.

代入原方程中,解得a1=.故a1=,d=-.

(2)由(1)得,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=(2-n)·,bn=-(-)n.

故b16=-(-)16=-32.

由(2-n)=-32,解得n=34.

故b16为an的第34项.

素养培优练

某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.

(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?

(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.

解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,

则a1=220,

a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,

a3=220+a2×(1-60%)=343.2,

即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.

(2)由题意,得an+1=220+an,

∴an+1-,

∴是以a1-=-为首项,为公比的等比数列,

∴an-=-,

∵-<0,∴an<=366,

∴an<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.