数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时教学设计

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   4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计课题  等比数列的前n项和单元第一单元学科数学年级高二教材分析    《等比数列前n项和》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。本节教材的编排与《等差数列前n项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前n项和公式在解决问题中的应用。  教学目标与核心素养1数学抽象： 等比数列的前n项和公式2逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导3数学运算：等比数列的前n项和公式的应用4数学建模：等比数列的前n项和公式 5数据分析：从“等比数列的通项公式”到“等比数列的前n项和”再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性重点等比数列前n项和公式及其应用难点等比数列前n项和公式的推导 教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.      情景引入                以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。    讲授新课 让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和. 等比数列前n项和公式推导——“错位相减法”一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是根据等比数列的通项公式，上式可写成  ①我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得   ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 ，即 .因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式      （1） 因为 所以，公式（1）还可以写成    （2） 公式推导方法二 （结论同上） 公式推导方法三当当q=1时， 注：1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．2．当q≠1时，若已知及q，则用公式Sn＝较好；若已知，则用公式Sn＝较好． 有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了.由 ，q=2，n=64，可得 这个数很大，超过了 . 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言. 例7  已知数列是等比数列.（1）若， ， 求 ；（2）若 ， ， , 求 ；（3）若 ， ， ，求n .解：（1）因为 ， ，所以 （2）由 ， ，可得    即    又由 ，得   ，所以       . （3）把 ， ， 代入 ，得 整理，得 解得 n=5 . 例8  已知等比数列的首项为-1，前n项和为 . 若 ，求公比q .解： 若q=1，则    ，所以 .当 时，由 ，得  整理，得即       所以 . 例9 已知等比数列的公比 ，前n项和为. 证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.证明：当 时， ， ， ，所以，，成等比数列，公比为1. 当 时， ，所以    .因为 为常数，所以，，成等比数列，公比为 . 课堂练习1 判断下列计算是否正确（1） （2）（3） 答：（1）错 （2）错 （3）错 5n2 在等比数列中：  （1）若，且q>0，求.（2）若  ，求和公比q. 解：（1）∵ 为等比数列且 ，     ∴  ∴∴ .（2）①当时，     又      ∴ 即   解得    ∴  ② 当q=1时，∴  综上得    或   3已知等比数列满足 ，且 （1）求的通项公式及前n项和（2）若，求的前n项和.分析（1）直接利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出通项公式和求和公式；（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.解：（1）设数列的公比为q，    由，可得     所以，所以所以 （2）由（1）可得 则  4 已知首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）证明： .解：（1）首项为的等比数列的前n项和为，且成等差数列所以 ，整理得 ，所以 所以  （2）由（1）得   故     ，  当n为奇数时，         当n为偶数时，     ∴ 当n为奇数时， ，   当n为偶数时，  综上，  成立.             “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法。          当q=1时，等比数列的前n项和等于多少？             运用比例的性质推导          ？                 对于等比数列相关量已知几个量就可以确定其他量                                                           通过层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养，增强学生的应用意识。                          “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量直接搭起桥梁，使问题得到解决。                          例题巩固                                                                         课堂小结 1等比数列前n项和公式已知量首项首项求和公式 2 例题3课堂练习    板书1引入2等比数列前n项和公式推导3例题讲解4课堂练习   教学反思