数学选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时教案

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温故知新

等比数列前n项和公式

思考

1. 类比等差数列，等比数列的前n项和有什么函数特性？

提示：

1.

①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即 和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.

②

当q=1时，是n的正比例函数.

当公比 时，等比数列的前n项和公式是

它可以变形为

设 ，上式可写成

是一个指数式与一个常数的和，

且指数式的系数与常数项互为相反数.

其中

复习导入

复习旧知识，使学生更快地接受新知识，即加强新旧知识间的联系，同时又使整节课教学结构紧密。

讲授新课

拓展

等比数列前n项和的性质

1数列是等比数列  

2若等比数列的前n项和为，则

成等比数列

（其中均不为0，即当q=-1,n为偶数时，上述性质不成立）

3 若等比数列的公比为q，则

4

等比数列的项数是偶数时， ;

等比数列的项数是奇数时， .

例10  如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.

（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；

（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.

解：设正方形ABCD的面积 ，后继各正方形的面积依次为，，，，，则

由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以

 因此，是以25为首项， 为公比的等比数列.

设的前n项和为 .

（1）

所以，当10个正方形的面积之和为 .

（2）当n无限增大时，无限趋近于所有四方形的面积和 而

随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50 .

所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.

例 11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.

分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.

解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则

当n=5时，

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为

（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中 为常数；

（3）求 的值（精确到1）.

分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；

（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；

（3）利用（2）的结论可得出解答.

解：（1）由题意，得 ，并且

       ①

（2）将 化成

        ②

比较①②的系数，可得

解这个方程组，得

所以，（1）中的递推公式可以化为

（3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则

所以

课堂练习：

1在数列中，（c为非零常数）且前n项和，则实数k的取值是什么？

提示：

由题知，是等比数列

∴的系数与常数项互为相反数.

而的系数为，∴

（同类巩固）

①     若等比数列中，，则m=__-2

②     已知等比数列的前n项和为，则x的值为 __

③     已知等比数列的前n项和为，则a的值为 __ 

2数列是首项为1，公比为2等比数列，其前n项和为，若，则k=__.

分析：直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出结果.

解：数列是首项为1，公比为2等比数列，

故 ，所以

所以，

所以 k=4

3 （裂项求和）

数列， 满足，，则 的前10项之和为（）

     A．  B．   C．   D．

解：

数列， 满足，，

∴

∴ 的前10项之和为：

故选：D

4 （等比数列前n项和性质）

各项均为正数的等比数列中，若，求.

解：

法一  设的公比为q，显然.

由已知条件可列出方程组

   两式作商  得      ∴

   ∴

法二  

   由性质 得

   即

   ∴

   ∴

  法三

  运用性质 成等比数列

  ∵ 成等比数列

而

∴

即

∴

法四

由 得  

所以

由已知 易得

故

即  得

又  解得

5 已知是公比为q的等比数列，其前n项和为，且 .

  （1）求q;

  （2）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为 ，当时，试比较与 的大小.

解：

（1）当q=1时，若，则应有，这与矛盾，故 .

    由，

两式相除，得 ，解得

（2）由题意知

当时，

所以

当 时， ;

  当n=10时，  ；

当 时， .

你能说明理由吗？

以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和的知识解决问题。体会等比数列与指数函数的关系。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

以垃圾处理问题为背景，引导学生运用数列的知识解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

以牧场牛的存栏量问题为背景，引导学生运用等比数列的知识解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。

练习巩固

课堂小结

1 等比数列前n项和的性质

2 例10、11、12

3 课堂练习

板书

1复习

2 等比数列前n项和的性质

3 例10、11、12

4 课堂练习

教学反思