高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法精练，共8页。试卷主要包含了4*　数学归纳法，用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。
第四章数列4.4*　数学归纳法课后篇巩固提升基础达标练1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证 (　　)A.n=1 B.n=2C.n=3 D.n=4解析由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.答案C2.利用数学归纳法证明不等式1++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了(　　)A.1项 B.k项C.2k-1项 D.2k项解析当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.答案D3.(多选)对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是(　　)A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.答案BCD4.(多选)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是(　　)A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对解析由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.答案AB5.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案当n=1时,左边=4,右边=4,不等式成立6.用数学归纳法证明1-+…++…+时,第一步应验证的等式是　　　　　;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　　　　　　　　　　. 解析当n=1时,应当验证的第一个式子是1-,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是.答案1-7.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜测得出an的表达式为　　　　　. 解析a1=2,a2=,a3=,a4=,猜测an=.答案an=8.(1)用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N*).(2)求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).证明(1)①当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·(k+1)-=(-1)k·.∴当n=k+1时,等式也成立,根据①②可知,对于任何n∈N*等式成立.(2)①n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.由①②得,等式对任何n∈N*都成立.能力提升练1.设Sk=+…+,则Sk+1为 (　　)A.Sk+ B.Sk+C.Sk+ D.Sk+解析式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=+…+, ①得Sk+1=+…+. ②由②-①,得Sk+1-Sk=.故Sk+1=Sk+.答案C2.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得(　　)A.当n=6时,该命题不成立B.当n=6时,该命题成立C.当n=4时,该命题不成立D.当n=4时,该命题成立解析若n=4时,该命题成立,由条件可推得n=5命题成立.所以若n=5该命题不成立,则n=4时该命题也不成立.答案C3.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+　　　　　. 解析由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.答案π4.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.解取n=1,2,3可得解得a=,b=,c=.下面用数学归纳法证明+…+.即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),∴当n=k+1时等式成立;由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=,b=,c=使已知等式成立.5.已知{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表达式;(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=,f3(x)=f1[f2(x)]=.猜想:fn(x)=(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(n∈N*),①当n=1时,f1(x)=,显然成立;②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=,即对n=k+1时,猜想也成立;结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.素养培优练已知数列{an}满足a1=2,an+1=-nan+1(n∈N*).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明;(2)用数学归纳法证明:当n>1时,+…+.(1)解由a1=2,得a2=-a1+1=3;由a2=3,得a3=-2a2+1=4;由a3=4,得a4=-3a3+1=5;由此猜想an的一个通项公式为an=n+1.下面证明an=n+1.当n=1时,a2=2=1+1,成立.假设当n=k(k≥2)时成立.即ak=k+1,那么当n=k+1时,ak+1=-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1,即当n=k+1时也成立.所以an=n+1.(2)证明①当n=2时,=1,不等式成立,②假设当n=k(k∈N*,k≥2)时结论成立,即+…+,当n=k+1时,+…+,而<0,所以+…+,即n=k+1时,结论也成立.由①和②可知,当n>1时,+…+.