数学选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法授课课件ppt

这是一份数学选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法授课课件ppt，共12页。PPT课件主要包含了情境导入，知识海洋，n＝k＋1，应用探究，2k＋1，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？
1. 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）归纳奠基：证明当 n＝n0 (n0∈N*) 时命题成立； （2）归纳递推：以“当 n＝k (k∈N*，k ≥ n0) 时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步 n0 的初始值是否一定为1？
【提示】不一定．如证明 n 边形的内角和为 (n－2)·180°，第一个值 n0＝3.
2. 数学归纳法的框图表示
我们学习等差数列通项公式的时候，只是归纳得出了结论，没有严格证明．下边我们用数学归纳法证明一下．
【例】 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为 d 的等差数列，那么 an ＝ a1＋(n－1)d ① 对任何 n∈N* 都成立.
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应该证明 n＝1 时命题成立. 第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果 n＝k 时 ① 式是正确的，那么 n＝k ＋1 时 ① 式也是正确的.
证明： （1）当 n＝1 时，左边＝a1，右边＝ a1＋0×d ＝ a1，①式成立； （2）假设当 n＝k (k∈N *) 时①式成立，即 ak＝ a1＋ (k－1) d ．根据等差数列的定义，有 ak+1－ak＝d ，于是 ak+1 ＝ ak＋d ＝[a1＋ (k－1) d ]＋d ＝ a1＋[(k－1) ＋1] d ＝ a1＋[(k＋1) －1] d 当 n＝k＋1 时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何n∈N* 都成立.
类型一：用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： （1）弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况； （2）弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； （3）证明 n＝k＋1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 n＝k＋1 证明目标的表达式变形.
类型二：用数学归纳法证明不等式
【思路探究】按照数学归纳法的步骤证明，由 n＝k 到 n＝k＋1 的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．