人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布教学设计及反思，共11页。

课题
正态分布
单元
第七单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容主要是正态分布，由生活中的实际情景导入，学习正态分布数据的分布特点，并使用其解决一些实际问题
教学目标与核心素养
数学抽象：利用生活中的实际问题，为了寻求数据的分布特点，引入正态分布
逻辑推理：通过导入及课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力
数学建模：掌握正态分布的数据分布特点，并会利用其解决实际概率问题
数学运算：能够正确正态分布的概率问题
5、数学分析：通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
掌握正态分布的数据特点及相关概率的求解
难点
利用正态分布，解决一些实际问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g.由于各种不可控制的
因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差
(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员
在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐,获得误差X的观测值(单位:g)如下:
(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图.
频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.
观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而目小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知,
频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.
根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示.
学生思考问题，引出本节新课内容。

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
新知讲解：
正态分布
函数fx=1σ2πe−(x−u)22σ2,x∈R ,μ∈R ,σ>0 为正态密度函数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ，σ2)。μ，σ 分别表示总体的平均数与标准差。特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
思考：观察正态曲线及相应的密度函数，可以发现正态曲线有哪些特点？
1、曲线是单峰的，关于直线x=μ对称
2、曲线在x=μ处达到峰值
3、当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴
4、曲线与x轴之间的面积为1.
思考：一个正态分布由参数μ和σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有什么影响？它们反映正态分布的哪些特征？
当参数σ 取值固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移。
当参数μ取值固定时，当σ 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散。
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。
若X~N(μ，σ2)，有
例题讲解：
例1：李明上学有时坐公交车，有时骑自行车。他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布。
（1）估计X，Y的分布中的参数
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线
（3）如果某天有38min可用，李明英选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由。
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ ，可以得到： X~N(30,62) Y~B(34,22)
（2）X和Y的分布密度曲线如图所示
（3）应该选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具。由上图可知
P(X≤38)P(Y≤34)
所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应该选择骑自行车；如果只有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应该选择坐公交车
例2：在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X~N(95,225).
（1）试求考试成绩X位于区间[65,125]内的概率；
（2）若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数.
解：因为X~N(95,225)，所以μ=95,σ=15
（1）u-2σ =95 - 2 x 15 = 65
u+2σ= 95+2 x 15 = 125
P(u-2σ≤X≤u+2σ)=0.9545
所以 P(65≤X≤125)=0.9545
（2） u-σ=95-15=80
u+σ=95+15=110
P(u-σ≤X≤u+σ)=0.6827
所以P(80≤X≤110)=0.6827
所以考试成绩位于区间[80，110]内的考生人数为3000 x 0.6827 = 2048
例3 : 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布X~N(500,25)（单位：g）.
（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？
（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
解：（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg，由题意可知
X~N(500,25)．由于485=500-3x5，
所以根据正态分布的对称性可知
P(X4)的值.
解：随机变量X~N(3,1),∴ 正态曲线关于直线x=3对称,由P(2≤X≤4)=0.682 6,得P(X>4)=0.5×[1-P(2≤X≤4)]=0.5×(1-0.682 6)=0.1587
拓展提高：
7．已知随机变量X服从正态分布N(u,σ)，其正态曲线在(-∞,80)上是增函数，
在(80,+∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)=0.6826．
（1）求参数u，σ的值；
（2）求P(64