数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精练

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1.1  空间向量及其运算(精练)【题组一 概念辨析】1．(2021·全国高二单元测试)下列说法中正确的是(    )A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线C．在空间中，任意两个单位向量都相等D．零向量与任意向量平行【答案】D【解析】A项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A错误；B项：若非零向量和是共线向量，则和平行或者重合，故、、、四点不一定在同一条直线上，B错误；C项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C错误；D项：零向量与任意向量平行，D正确，故选：D.2．(2021·湖南)(多选)下列命题中为假命题的是(    )A．任意两个空间向量的模能比较大小B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】BCD【解析】对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等．故选：BCD3(2021·全国高二)下列说法中正确的是(　　)A．若，则，的长度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，则C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形中，一定有【答案】B【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.综上可知,正确的为B故选:B4．(2021·陕西新城)给出下列命题：①若空间向量满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，由，则；④在向量的数量积运算中.其中假命题的个数是(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同则和不相等，故④错误.故选：D.      【题组二 共线共面问题】1．(2021·涟水县)是空间四点，有以下条件：①；    ②；③；    ④，能使四点一定共面的条件是______【答案】④【解析】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.故答案为：④2．(2021·江苏)设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．【答案】【解析】因为四点共面，三点不共线，所以因为，因为是任意一点，故可不共面，所以，故.故答案为：13．(2021·广东)对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，则(    )A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面【答案】B【解析】因为，所以，即，根据共面向量基本定理，可得，，共面，所以，，，，四点共面．故选：B．4．(2021·湖南)已知、、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、、一定共面的是(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】若，故可得即，则，故整理得又因为共面，故可得共面，而其它选项不符合，即可得四点共面.故选：B.5(2021·安徽已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若，试判断向量，，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内．【答案】见解析【解析】因为，所以，即，所以向量，，共面.因为，，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线，所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内.6．(2021·全国高二课时练习)如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．【答案】证明见解析；【解析】取的中点D，联结OD，CD，由，知，，，又，故平面，又平面，因此又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．则，，故，四边形EFGH是平行四边形同理，且，又所以，四边形EFGH是矩形  【题组三 线性运算】1．(2021·全国高二课时练习)如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)；        (2)；(3)；    (4)．【答案】(1)，向量如图所示；(2)，向量如图所示；(3)，向量如图所示；(4)，向量如图所示；【解析】(1)，向量如图所示；(2)在平行六面体中，有，，故，向量如图所示；(3)由知，取的中点为E，，向量如图所示；(4)由(2)知，取的三等分点F点，，向量如图所示；2．(2021·福建)如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)；        (2)；(3)；        (4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4).3．(2021·全国高二课时练习)举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】在三棱锥中，，，不同在一个平面内；长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，，不同在一个平面内.4．(2021·全国高二课时练习)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(    )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.故选：A.5．(2021·静宁县)如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，故选：A.   【题组四 数量积】1．(2021·海南)已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(    )A．5 B．10C．12 D．不能确定【答案】B【解析】如图所示，由三角形中位线的性质可得,.所以四边形EFGH是平行四边形，因为，所以 .故选：B. 2．(2021·四川眉山市)在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则(    )A． B． C． D．2【答案】A【解析】因为四棱柱中，底面是正方形，，，，则，所以.故选：A.3．(2021·四川省内江市第六中学)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.【答案】【解析】设，则且两两夹角为 所以 ，所以故答案为：4．(2021·全国高二单元测试)已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径(，是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__．【答案】8【解析】由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，由题意，，是直径的两端点，可得，，则，当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，则的最大值为，故答案为：．5．(2021·北京)若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，的最小值为___________．【答案】【解析】即，当且仅当取等号即的最小值为故答案为：6．(2021·河北新乐市第一中学高二开学考试)如图，在平行六面体中，，为的中点，则___________.【答案】6【解析】设因为所以解得故答案为：67．(2021·广东珠海市·高二期末)如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则__________．【答案】【解析】由已知，可得，，，，，．故答案为．8．(2021·东莞市光明中学高二开学考试)如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.【答案】70【解析】由题意，，，，米，米，米，库底与水坝所成的二面角为，，米.故答案为：70.9．(2021·全国高二单元测试)已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.【答案】2【解析】由题意画出图形，如图所示，因为，且是向量在上的投影，所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.故答案为：210．(2021·山东威海市·高二期末)已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则_______.【答案】【解析】因为四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，所以，且，，，所以，故答案为：. 11．(2021·全国高二课时练习)如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．【答案】证明见解析【解析】∵，∴，，，平面，∴．由题意可知，平面，∴，，，∴，∴．同理可证，．∴是的垂心．12．(2021·山西)如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．【答案】或【解析】因为，所以，．因为与成角，所以或．因为，所以，所以．当时，，即；当时，，即．综上，可知，之间的距离为或．13．(2021·全国高二课时练习)如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：(1)；    (2)；    (3)；    (4)；(5)；    (6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【解析】四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，，(1)；(2)；(3)；(4)，则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，又，；(5)，则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角，；(6)取BD中点M，连接AM，CM，则，，平面ACM，又平面ACM，，，，又，，，可知，.