2021-2022学年山西省临汾市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山西省临汾市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 对于函数，自变量取时，对应的函数值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的交点是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法正确的是(    )

A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是正方形
C. 四边都相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的四边形是矩形

4. 山西某中学初二年级有个班，期中考试数学成绩为优秀分以上的学生人数分别为，，，，，，，则这组数的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 山西某煤矿一个水池存有水，现在水泵以每分钟抽水的速度把水池的水抽出，如图能近似的表示水池剩余水量与抽水时间的关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在平行四边形中，对角线，且与另一条对角线相交于点，若
   ，边长分别为和，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 太原某中学李老师在期中考试数学成绩登分过程中，出现了一处错误，把数学最高成绩写的更高了．则计算果一定不受影响的是(    )

A. 中位数 B. 方差 C. 平均数 D. 众数

8. 已知一三角形的三边长，，满足，则这个三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 甲、乙两车沿相同路线从地向地行进，两地相距千米，如图所示的是甲、乙两车离地的距离随时间变化的图象，则下列结论错误的是(    )

A. 甲的速度为千米分钟 B. 甲比乙先到地
C. 乙比甲晚分钟出发 D. 乙的速度为千米分钟

10. 在菱形中，相邻两内角度数之比为：，若它较短的对角线长度为，则它的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 对于一次函数，当时，自变量的取值范围是______．
12. 若最简二次根式能与合并，则的值为______．
13. 已知一组数据，，，，，的唯一众数是，那么这组数据的平均数是______．
14. 山西老陈醋是中国四大名醋之一，已有余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某粮油店销售一种山西老陈醋，标价每瓶元斤装，店里有个团购优惠，团购老陈醋瓶以上，超过部分可享受折优惠，若康康和朋友一起团购了瓶老陈醋共付款元，则与的函数关系式为______．
15. 一张矩形纸片按如图所示的方式折叠，使得顶点与重合，折痕为，，，则折痕的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算：．
    下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
    题目：已知，求的值．
    原式第一步
    第二步
    第三步
    把代入上式，得
    原式第四步
    第五步
    第六步
    任务一：填空：
    在化简步骤中，第______步是进行分式的通分．
    第______步开始出错，这一错误的原因是______．
    任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
17. 如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的处，求该船的行驶速度．

18. 已知四边形，，，平分，，求四边形的面积．

19. 山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
    参考公式
     

根据表中提供的数据，解答下列问题：
的值为______，的值为______．
求和的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．

20. 阅读与思考：
    若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点．
    如图，在四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为对顶点，若再满足，则点与点关于为互余对顶点．
    任务：
    如图，平行四边形与四边形有两边重合，为两个四边形的对角线，，．
    证明：点与点关于互为对顶点．
    当点与点关于为互余对顶点时，求的度数．

21. 嘎啦苹果和油桃是运城特产水果，运城某水果经销店每天从农场购进嘎啦苹果和油桃进行销售，两种水果的进价和售价如下：

水果经销店花费元购进运城油桃的数量是花费元购进嘎啦苹果的数量的两倍．
求每斤嘎啦苹果和每斤运城油桃的进价．
水果经销店每天购进这两种水果共斤，其中嘎啦苹果不少于斤且不超过斤，并在当天都销售完．设每天销售嘎啦苹果斤，当天销售这两种水果总获利元销售过程中损耗不计求出与的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润．

22. 综合与实践：
    已知线段向下平移个单位后，再向右平移个单位至线段，点、的对应点分别为点、，连接、、、，与交于点．
    如图，求证：．
    如图，过点作于，为的中点，连接，若，，，求的值．
    在的条件下，在上移动，当为等腰三角形时，请直接写出的长．

23. 综合与探究：
    如图，过，两点的直线与直线交于点，平行于轴的直线从轴出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右平移，到达点时停止．直线分别与，交于点、，以为斜边向左侧作等腰直角三角形，设与重叠部分图形的周长为，直线的运动时间为秒．
    求直线的解析式及点的坐标．
    当点落在轴上时，求的值．
    试探究当直线从轴出发，向右移动过程中，与的函数关系式直线在轴上与经过点的两种情况不考虑．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把代入得，，
故选：．
把代入即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
 

2.【答案】 

【解析】解：联立方程组得，
解得，
一次函数的图象与正比例函数的图象的交点是，
故选：．
解析式联立成方程组，解方程组即可求得．
本题是两条直线相交问题，直线的交点就是两直线的解析式构成的方程组的解．
 

3.【答案】 

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，此选项错误，不符合题意；
C、四边都相等的四边形是菱形，此选项正确，符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项错误，不符合题意．
故选：．
分别根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定判定各选项进而得出答案．
此题主要考查了正方形的判定，熟练根据先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．还可以先判定四边形是平行四边形，再用或，进行判定是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排列：，，，，，，，
中位数为．
故选：．
根据中位数的定义判断即可．
本题考查中位数，解题的关键是理解中位数的定义，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：当抽水时间为时，水池剩余水量，故选项A、不合题意；
分钟，
即当抽水时间为时，水池剩余水量，故选项D不合题意，选项B符合题意．
故选：．
根据水池剩余水量随抽水时间增大而减小判断即可．
此题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
由勾股定理，得，即，
解得：，
又四边形为平行四边形，
所以，，，
所以在中，
，即，
解得：．
故选：．
在中利用勾股定理求出，再利用平行四边形的性质得出与的长，然后在中利用勾股定理求出．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：．
根据中位数的定义直接求解即可．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，熟练掌握中位数的定义是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：足，
，
，，，
解得，，，
，
即，
以、、为三边长的三角形是直角三角形．
这个三角形的面积为，
故选：．
根据非负数的性质列式求出、、的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，乙比甲晚出发分钟，且比甲先到地，故B选项错误，符合题意；选项正确，不符合题意；
甲的速度为：千米分钟，乙的速度为：千米分钟，，选项正确，不符合题意；
故选：．
由路程时间可得出甲、乙的速度，进而可判断，；由图象可直接得出，．
本题主要考查函数的图象问题，熟知行程问题三个量之间的关系，并从图中得出相关信息是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形是菱形，
，
菱形中相邻两内角的度数之比为：，
，
是等边三角形，
，
，
，
，

故选：．
首先根据题意画出图形，然后由菱形中相邻两内角的度数之比为：，求得的度数，判定是等边三角形，求得，又由含角的直角三角形的性质，求得的长，继而由勾股定理，求得的长，则可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：一次函数，
当时，，随的增大而增大，
当函数值时，自变量的取值范围为，
故答案为：．
一次函数中、，可以得到当时，，随的增大而增大，从而可以写出当函数值时，自变量的取值范围．
本题考查一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先化简二次根式，根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，的唯一众数是，即的次数最多；
即．
则其平均数为．
故答案为：．
要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出，再求这组数据的平均数．
本题考查平均数与众数的意义．平均数等于所有数据之和除以数据的总个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
故答案为：．
根据销售方式及优惠方法进行计算即可．
本题考查函数关系式，掌握销售方式及优惠方法是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

四边形为矩形，
，，
，
由折叠可知，垂直平分，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和折叠的性质证明∽，利用相似三角形对应边成比例，得出，然后利用≌得出，即可求出的长．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，根据题意证明≌是解题的关键．
 

16.【答案】一  五  分子没有乘 

【解析】解：

；
任务一：填空：
在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．
故答案为：一；
第五步开始出错，这一错误的原因是分子没有乘，
故答案为：五，分子没有乘；
任务二：，
计算过程为：原式

．
当时，原式．
根据平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
任务一：根据题目中的解答过程可以解答本题；
根据题目中的解答过程可以发现哪一步出错了，并写出错因即可；
任务二：根据分式的计算方法和二次根式分母有理化的方法可以解答本题．
本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：由题意得：，海里，海里，
海里，
海里小时，
答：该船的行驶速度为海里小时． 

【解析】由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用以及方向角，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

18.【答案】解：连接，交于点，如图所示：

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，，
，
根据勾股定理，可得，
，
四边形的面积是． 

【解析】连接，交于点，根据平行线的性质以及角平分线的定义易得，可证四边形是菱形，根据勾股定理可得的长，再根据菱形求面积的方法可得四边形的面积．
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：甲数据从小到大排列，第、位都是，故中位数为；
乙的数据中最多有个，所以众数．
故答案为：，．
，
，
，
乙的成绩更稳定．
选择乙同学，
理由：乙同学的中位数更大．答案不唯一
根据众数、中位数的定义即可求出结果．
根据平均数和方差的计算结果求出答案．
比较出甲、乙两位同学的中位数即可．
本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
点与点关于互为对顶点；
解：，，
，
点与点关于为互余对顶点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，推出，即可得出结论；
由等腰三角形的性质得，再由点与点关于为互余对顶点得，然后由等腰三角形的性质得，进而由平行四边形性质得出，则，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、新定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
元斤，
答：每斤嘎啦苹果的进价是元，每斤运城油桃的进价是元．；
，
，
随增大而减小，
依题意，
当时，的最大值元．
答：当天销售这两种水果的最大利润为元． 

【解析】根据“水果经销店花费元购进运城油桃的数量是花费元购进嘎啦苹果的数量的两倍”列方程，解方程即可；
根据总利润嘎啦苹果的利润运城油桃的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
 

22.【答案】证明：由平移的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，点是的中点，
，
，
；
解：如图，连接，

若时，则，
若时，，，
，
，
若时，
，
，
，
综上所述：的长为或或． 

【解析】先证四边形是平行四边形，可得；
由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求解；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得，
；
如图，当点落在轴上时，，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
；
由知，四边形是正方形，
如图，当时，设与轴交于，与轴交于，连接交轴于，交于，
由题意可知，，
，
，
，
，
，，
，
；
如图，当时，连接并延长交轴于点，
由题意可知，
，
，
，
，
；
综上所述：当时，；当时，． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
由题意可知四边形是正方形，则可求，，即可求；
由题意可知，四边形是正方形，分两种情况讨论：当时，设与轴交于，与轴交于，连接交轴于，交于，；当时，连接并延长交轴于点，．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．