2021-2022学年山西省运城市盐湖区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山西省运城市盐湖区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组图形中，属于全等图形的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 等腰三角形一边等于，另一边等于，则其周长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不能确定

4. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形如图甲，把余下的部分拼成一个矩形如图乙，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 在同一年出生的名学生中，至少有人出生在同一个月
B. 买一张彩票，一定不会中奖
C. 射击运动员射击一次，命中环
D. 打开电视，正在播放动画片

6. 如图，，添加下列条件，不能使≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量和时间的数据如表：

则下列叙述错误的是(    )

A. 时间为时，室内每立方米空气中的含药量为
B. 在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小
C. 挥发时间每增加，室内每立方米空气中的含药量减少
D. 室内每立方米空气中的含药量是自变量

8. 小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现与全等，请你说明小华得到全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且，下列确定点的方法正确的是(    )

A. 为、两角平分线的交点
B. 为的角平分线与线段的垂线平分线的交点
C. 为的角平分线与线段的垂线平分线的交点
D. 为线段、的垂直平分线的交点
 

10. 如图，已知线段米，于点，米，射线于，点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 计算______．
12. 如图，，、分别是射线、上的动点，平分，且，则的周长的最小值为______．

13. 下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______．
    频率就是概率
    频率是客观存在的，与试验次数无关
    随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
    概率是随机的，在实验前不能确定
14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点已知的周长为，且，则的长为______．

15. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”，设的展开式中第三项的系数为，的展开式中第三项的系数，则______．

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16. ；
    ．
17. 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：
    
    根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值．
18. 下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．
    如图，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
    如图，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
    如图，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
     

19. 由于新冠疫情的影响，甲地需要向相距千米的乙地运送物资，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离千米与时间时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
    轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离．
    轿车出发多长时间追上货车．
    在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．

20. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图形状拼成一个正方形．
    图中的空白部分的正方形的边长是多少？用含、的式子表示
    已知，，求图中空白部分的正方形的面积．
    观察图，用一个等式表示下列三个整式：，，之间的数量关系．
    拓展提升：当时，求．
     

21. 年月山西省召开了教育工作会议，会议提出：实施基础教育优质均衡提升行动，坚决打好“双减”攻坚落实战，全面提高教育基础公共服务水平．某校为了认真落实会议，决定每天开展体育活动一小时，开设足球、篮球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好任选一项，小张为了了解同学们对球类运动的喜好，对学校部分同学进行了调查，并绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
    
    请补全条形统计图．
    ______，扇形统计图中，篮球所占的圆心角度数为______．
    在被调查的同学中随机选取一名同学，正好选择乒乓球的概率是多少？
    若初一年级共有名学生，请估算出初一年级最喜欢的球类是篮球的人数．
22. 已知：等腰直角，，，，将沿折叠，使落在直线上，是的平分线．交于交于连接．
    请说明：；
    试判断与的关系，并说明理由．

23. 探究题
    已知：如图，，求证：．
    
    老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
    小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是______．
    接下来，小颖用几何画板对图形进行了变式，她先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和中的、与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用几何画板的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
    请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
    猜想图中、与之间的数量关系并加以证明；
    补全图，直接写出、与之间的数量关系：______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据全等图形的定义可得是全等图形，
故选：．
由全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
此题主要考查了全等形的概念，关键是掌握全等形的形状和大小都相同．
 

3.【答案】 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，而、、可以构成三角形，故周长为；
当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，故舍去．
所以三角形的周长为．
故选：．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

4.【答案】 

【解析】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
阴影部分的面积．
故选：．
第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等．
此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
 

5.【答案】 

【解析】解：、在同一年出生的名学生中，至少有人出生在同一个月，该选项是必然事件，故该选项符合题意；
B、买一张彩票，不一定不会中奖，该选项是随机事件，故该选项不符合题意；
C、射击运动员射击一次，可能命中环，该选项是随机事件，故该选项不符合题意；
D、打开电视，可能正在播放动画片，该选项是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
当添加时，根据“”可证明≌，所以选项不符合题意；
当添加时，不能判断≌，所以选项符合题意；
当添加时，根据“”可证明≌，所以选项不符合题意；
当添加时，根据“”可证明≌，所以选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据表格数据可以得出两个变量的关系式为，
A、当时，，故选项不符合题意；
B、在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小，故选项不符合题意；
C、挥发时间每增加，室内每立方米空气中的含药量减少，故选项不符合题意；
D、因为室内每立方米空气中的含药量随时间的变化而变化，所以时间是自变量，每立方米空气中的含药量是因变量，故选项符合题意．
故选：．
根据表中数据表示出函数的解析式以及表格，两个变量之间的变化关系即可正确解答本题．
本题考查了函数的定义和性质，解题关键是能读懂表格中数据的特征，理解函数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：在与中，
，
≌．
故选：．
由作法易得，，，由的判定定理可以得到三角形全等，从而求解．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：点到的两边的距离相等，
点在的平分线上；
，
点在的垂直平分线上，
为的角平分线与线段的垂线平分线的交点．
故选：．
利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的进行确定点位置，从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：当≌时，，即，
解得：；
当≌时，米，
此时所用时间为，米，不合题意，舍去；
综上，出发后，在线段上有一点，使与全等．
故选：．
分两种情况考虑：当≌时与当≌时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：




，
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，与、的交点即为所求点、，
的周长，此时的周长最小，
点与点关于对称，
，
点与点关于对称，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
的周长的最小值为，
故答案为．
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，与、的交点即为所求点、，的周长最小即为，由已知证明为等边三角形，则可求，即可求的周长的最小值为．
本题考查轴对称求最短距离，分别作出点关于、的对称点，确定所求周长的最小值为长，并证明是等边三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：频率与概率不是同一概念，此选项错误；
概率是客观存在的，与试验次数无关，此选项错误；
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，此选项正确；
概率是不是随机的，在实验前能确定，此选项错误；
故答案为：．
根据频率与概率的概念与意义逐一判断即可得．
本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
的周长是，
，
，
．
，
，
故答案为：．
利用线段的垂直平分线的性质得到，结合已知条件得到，进而求得，即可求出．
此题主要考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
的展开式第三项系数为，
的展开式第三项系数为，
的展开式第三项系数为，即，
，
归纳总结得：的展开式第三项系数为，
的展开式第三项系数为，即，
则．
故答案为：．
根据“杨辉三角”，归纳总结得到各项展开式第三项系数规律，确定出与，即可求出的值．
此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

．
原式

． 

【解析】根据积的乘方，整式的乘除运算法则即可求出答案．
根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减法则、整式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：小红说得对，
理由：


，
这道题与的值无关，是可以解的，
当时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，直线即为所求；
如图中，图形即为所求；
如图中，图形即为所求．
 

【解析】根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；
根据要求画出图形即可；
根据要求画出图形即可．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：根据图象可知，货车速度是千米小时，
千米，
轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米；
轿车在段的速度是：千米小时，
设轿车出发小时追上货车，
轿车比货车晚出发小时，
点对应的数据为：，

解得，
轿车出发小时追上货车；
设在轿车行进过程，轿车行驶小时，两车相距千米，
两车相遇之前，得，
解得，
两车相遇之后，得，
解得，
综上，在轿车行进过程中，轿车行驶小时或小时，两车相距千米． 

【解析】根据图象可求出货车速度，根据“速度时间路程”即可求解；
设轿车出发小时追上货车，根据相遇时两车距离甲地的路程相等，列方程，解方程即可；
设在轿车行进过程，轿车行驶小时，两车相距千米，分两种情况：两车相遇之前，是两车相遇之后，分别列方程求解即可．
本题考查了变量之间的关系，根据图象求出两车的速度以及根据等量关系建立一元一次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：图中的空白部分的正方形的边长．
图中空白部分的正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积



．
图中大正方形的面积，
空白部分的正方形面积，
阴影的面积，
图中大正方形的面积空白部分的正方形面积阴影的面积，
．
，
，
由的结论可知，
，
把，代入，
得，
，
，
即． 

【解析】通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是；
图中空白部分的正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积；
通过观察图发现，大正方形的面积空白部分的正方形面积阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系；
把看作，把看作，然后运用中的数量关系，求得即的值．
本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形面积探究发现，进而运用结论进行计算，是对学生探索发现结论并运用结论的能力的考查．
 

21.【答案】   

【解析】解：被调查的总人数为人，
选择羽毛球人数为人，
补全图形如下：

图形见解答；
，即，
扇形统计图中，篮球所占的圆心角度数为，
故答案为：，；
在被调查的同学中随机选取一名，共有种等可能结果，其中正好抽到选择乒乓球的有种结果，
正好抽到选择乒乓球的概率为；
估算出初一年级最喜爱的球类是篮球的人数人．
答：估算出初一年级最喜欢的球类是篮球的人数是人．
先由选择足球人数及其所占百分比求出被调查总人数，再根据各板块人数之和等于总人数求出选择羽毛球对应人数，从而补全条形图；
根据百分比的概念可得的值，用乘以选择篮球人数所占比例可求得其对应圆心角度数；
用选择乒乓球人数除以被调查的总人数即可得；
用总人数乘以样本中选择篮球人数所占比例即可得．
本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：，，，
，，
将沿折叠，使落在直线上，
，
是的平分线，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：垂直平分，理由如下：
，，
，
，
又是的平分线，
垂直平分． 

【解析】由“”可证≌，可得；
先证，由等腰三角形的性质可求解；
本题考查了等腰直角三角形中的翻折变换，涉及全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】两直线平行，同旁内角互补；
，证明：过点作，

，
，
，
，
，
；
 如图：

． 

【解析】

【分析】
本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
根据两直线平行同旁内角互补即可解决问题；
猜想，过点作，利用平行线的性质即可解决问题；
与之间的数量关系是，利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】
解：两直线平行，同旁内角互补，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；
见答案；
、与之间的数量关系是，
理由：如图，过点作，

，
，
，，
，
，
故答案为：．