人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置随堂练习题

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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)
【题组一 直线与圆的位置关系】
1．(2021·江西南昌市)直线与圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
【答案】A
【解析】圆化为标准方程为，可得圆心为，半径为4，
则圆心到直线的距离，故直线与圆相交.故选：A.
2．(2021·全国)直线和圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】圆心到直线的距离即直线和圆相交
故选：A
3．(2021·白银市第十中学)直线：与圆：的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】直线：过定点，因为，则点在圆的内部，∴直线与圆相交，故选：A.
4．(2021·北京高二期末)已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【解析】直线方程整理为，即直线过定点，
而，在圆内，∴直线与圆相交．故选：A．
5．(2021·北京高二期末)直线与圆相切，则的值是( )
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
【答案】D
【解析】由题意，圆的方程，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，解得或．故选：D.
6．(2021·全国高二课时练习)若直线与圆相切，则( )
A．1 B． C．或3 D．或1
【答案】D
【解析】由题意，圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半径，
所以，解得或．故选：D．
7．(2021·浙江高二期末)已知直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲线可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出直线与该半圆的图形如下：

由图可知直线从点处与圆相切时运动到过处时，直线与圆有两个公共点，
将代入得：；由直线与圆相切，得，解得(舍或，所以，的范围是．故选：D．
8．(2021·浙江高二期末)直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【解析】直线，即，
由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故选：B.
9．(2021·全国)(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
【答案】AB
【解析】根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．相离时无公共点．
故选：AB．
10．(2021·全国)(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则( )
A．圆心坐标为(1，－2) B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交 D．圆的半径为
【答案】AD
【解析】把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．故选：AD
11．(2021·内蒙古包头市·高二月考(理))已知是圆内一点，则直线与圆公共点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能
【答案】A
【解析】因为点是圆内一点，所以，
圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，即直线与圆没有公共点，故选：A
【题组二 直线与圆的弦长】
1．(2021·陕西安康市·高二期末(理))设直线与圆交于A，B两点，则 。
【答案】
【解析】圆的圆心为 则圆心到直线的距离为
所以故选：B
2．(2021·辽宁营口市·高二期末)直线：与圆：相交，当直线被圆所截得的弦长最短时，直线的方程为___________.
【答案】
【解析】直线可化为，可得直线过定点，
又由圆，可得圆心坐标为，半径为，
根据圆的性质，可得当时，此时直线被圆所截得的弦长最短，
因为，所以直线的斜率为，
代入直线，可得，
即直线的方程为.故答案为：
3．(2021·全国高二课时练习)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长．
【答案】相交，
【解析】由圆的方程得圆心为，半径为
所以圆心到直线的距离为：，
所以与圆相交，
所以直线被圆截得的弦长为.
4．(2021·四川成都市·高二开学考试(理))已知圆，直线恒过点.
(1)若直线与圆相切，求的方程；
(2)当直线与圆相交于两点，且时，求的方程.
【答案】(1)或；(2)或.
【解析】(1)由题意知，圆的圆心为，半径为；
①当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时，直线与圆相切，符合题意； .
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线为，化为一般式：，
∴若直线与圆相切，则，整理得，解得，
，即，
综上：当直线与圆相切，的方程为：或
(2)由题意知，直线的斜率一定存在，由(1)可设直线为，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理知：，即，整理得，
或，
的方程为或.
5．(2021·全国)已知直线，圆．
(1)求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；
(2)当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)，.
【解析】(1)直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点．
，即点在圆内，
直线与圆C恒相交于两点.
(2)当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直．
，直线l的斜率，则，解得．
此时，弦长.
【题组三 圆上的点到直接距离的最值】
1．(2021·河南高二月考(文))为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线上的点的最小距离，故选：A．
2．(2021·北京清华附中高三其他模拟)已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】设点，则，
圆心到的距离为
则点P到直线的距离最小值为 故选：B
3．(2021·内蒙古包头市·高三二模(文))圆：上的点到直线：的最大距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由题意，圆心到直线的距离，
所以，圆上的点到直线的最大距离是，故选：B.
4．(2021·河北衡水中学)已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则( )
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】圆圆心，
则圆心直线的距离，
要想圆上到直线的距离为的点恰有一个，
由图得：.故选：A.
5．(2021·奉新县第一中学)已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为故选：B
6．(2021·全国高三专题练习(文))已知P是曲线C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，∴曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离，故选:D.
7．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期中(文))设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为( )
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，
所以，，所以.故选：C.
8．(2021·浙江温州市·高二期末)已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，则，在等式两边平方并整理得，
所以，曲线为圆的上半圆，该圆的半径为，
作出曲线与直线的图象如下图所示：

原点到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
当点的坐标为，取最小值，即，
由图象可知，，
因此，点到直线的距离的取值范围是.故选：D.
9．(2021·北京高二期末)已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线，圆的圆心为
由圆可得
所以圆的圆心为，半径为
直线恒过定点，又点在圆内.
所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.
当时，圆心到直线的距离最大，此时
所以点到直线的距离的最大值为 故选：D
10．(2020·山东济宁市·高二期末)(多选)已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是( )
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】BC
【解析】圆化为标准方程为，
则圆心为，半径，其中，
圆上至多有一点到直线的距离为1，
圆上的点到直线的最近距离大于等于1，
其中圆心到直线的距离为，
，解得，，则m的取值可以是1或3.故选：BC.
11．(2021·甘肃高二期末(理))圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】把圆的方程化为标准式为，
所以圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离，
由题意得，即，即
解得：或，即实数的取值范围为 ，故答案为：.
12．(2021·全国高三专题练习)已知点点在圆上运动，点为线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求点到直线的距离的最大值和最小值.
【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.
【解析】(1)因为点是的中点，，即
又，即.所以点的轨迹方程为.
(2)由(1)知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
圆心到直线的距离.
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为.
【题组四 圆与圆的位置关系】
1．(2021·北京昌平区·临川学校高二期末(文))已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝49和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．内含 D．相交
【答案】D
【解析】圆C1：x2＋y2＝49，圆心为 ，半径 ，
圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，圆心为 ，半径 ，
两圆圆心之间距离为5， ，故两圆相交，故选：D
2．(2021·重庆八中高二期末)圆与圆的位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.故选：D.
3．(2021·新疆乌苏市第一中学高二开学考试)已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是( )
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【解析】由已知的，
所以，，
所以，故两圆相交.故选：C.
4．(2021·浙江舟山市·高二期末)已知圆与圆相切，则实数的取值个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
当两圆外切时，有，即，解得或，
当两圆内切时，有，即，解得，
综上所述，，或，或.故选：C.
5．(2021·安徽池州市·高二期末(文))若圆与圆外切，则( )
A．36 B．38 C．48 D．50
【答案】C
【解析】依题意，圆，圆，故，解得，故选C．
6．(2021·安徽高二期末(文))若圆与圆内切，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易见点在圆的外部，由两圆内切可知，圆为大圆，两圆的圆心距等于两圆半径之差，而大圆半径为r，小圆半径为，圆心距为，所以，故. 故选：A.
【题组五 圆与圆相交弦】
1．(2021·浙江高二期末)已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段 的长度是______.
【答案】
【解析】①，②，
两式相减得：，即，由：得：
则圆心，， 圆心到直线的距离
所以故答案为：，
2.(2021·广东)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
【答案】1
【解析】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.圆的圆心为，半径为.到直线的距离为：，解得.故答案为：
3．(2021·山东潍坊市·高二期末)已知圆与圆相交，则它们交点所在的直线方程为_________.
【答案】
【解析】，即，
，即，两式相减得：.故答案为：.
4．(2021·山东菏泽市·高二期末)两圆和相交于两点M，N，则线段的长为_________．
【答案】
【解析】联立，①②可得，即
圆的圆心到直线的距离
∴线段的长为.故答案为：.
5．(2021·浙江高二期末)已知圆和圆相交于A、B两点，则线段AB的长度为__________．
【答案】
【解析】由圆和圆相减可得，
公共弦的方程为，
又圆的圆心为，半径为，
可得到直线的距离为，
则，故答案为：．
6．(2021·石泉县石泉中学高二开学考试(理))设圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线所在直线的方程为
【答案】
【解析】由题意知：，且垂直平分，
∴线段的垂直平分线所在直线必过，故直线的方程为，整理得.
【题组六 切线及切线长】
1．(2021·浙江高二期末)已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为圆，圆，
所以， ，所以，
所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B
2．(2021·湖北省直辖县级行政单位·高二期末)已知圆与圆，则两圆公切线条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆，即，圆心，半径；圆，即，圆心，半径，所以圆心距，，所以两圆相交，故有两条公切线，故选：B
3．(2021·全国高二专题练习)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.故选：B．
4．(2021·全国高二单元测试)圆与圆的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由于圆心距，满足：，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，故选：B.
5．(2021·浙江绍兴市·高二期末)已知圆与圆恰有两条公切线，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆恰有两条公切线，两圆相交，，
，
，解得或.故选：D.
6．(2021·全国高三其他模拟(理))已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为
圆的圆心坐标为，半径为
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，
设切线，则圆心到直线的距离，解得或，
另两条切线与直线平行且相距为1，又由，
设切线，则，解得，
结合选项，可得D不正确.
故选：D.


7．(2021·湖南)(多选)已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】, 半径 , 两圆相离，有四条公切线
两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点,
设切线, 则圆心到直线的距离 , 解得 或 ,
另两条切线与直线平行且相距为1,,
设切线 , 则 ,解得.
所以只有项不正确(也可以不计算，通过斜率即可排除D)
故选：ABC
9．(2021·全国高二课时练习)若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题意可得和切线垂直，故切线的斜率为，故切线的方程为，即，故答案为．
10．(2021·上海市延安中学高二期末)过原点且与圆相切的直线方程为__________
【答案】或
【解析】由圆的圆心为，半径，
故过原点的切线斜率不存在时，其切线方程为，
当切线斜率存在时，可设直线方程为，
由圆心到直线的距离，
解得，切线方程为，
故答案为：或.
11(2021·四川南充市·(理))过作圆的切线，则其切线方程为____________.
【答案】或
【解析】圆的圆心为，半径为1，
(1)当过点的直线垂直于轴时，
此时直线斜率不存在，方程是，
圆心到直线的距离为，
直线符合题意；
(2)当过点的直线不垂直于轴时，
设直线方程为，即．
直线是的切线，
点到直线的距离为，解之得，
此时直线方程为．
切线方程为或．
故答案为：或．
12．(2021·全国)过点P(2，1)作圆x2＋(y－2)2＝1的切线，则切线长为________．
【答案】2
【解析】点P(2，1)到圆心(0，2)的距离为,
所以切线长为.故答案为：2．
13．(2021·全国高二课时练习)自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，切点为B，则AB的长为________．
【答案】3
【解析】点A到圆心C(2，3)的距离为＝，所以切线长为＝3.
故答案为：3.
14．(2021·青海西宁市·湟川中学高二月考(文))已知点是直线()上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．
【答案】2
【解析】圆的圆心为，半径为，

由圆的性质可知，四边形的面积，
又四边形的最小面积是2，则的最小值为，
则，
因为，所以当取最小值时，最小；
又点是直线上的动点，
当垂直于直线时，最小，即为圆心到直线的距离；
所以，解得，
因为，所以．故答案为：.
【题组七 实际生活运用】
1．(2020·上海市七宝中学高二期中)在2020年北京举办的国际自主智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地(如图)，在边上距离点6米的处有一只电子狗，在距离点3米处放置一个机器人.电子狗的运动速度是机器人速度的两倍.如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么机器狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点.

(1)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域；
(2)若为矩形场地边上的一点，若电子狗在线段上都能逃脱，问：点应在何处？
【答案】(1)以为圆心，2为半径的半圆及其内部；(2)点的横坐标取值范围是.
【解析】建立以点为坐标原点，为轴，为轴的直角坐标系，
如图

，，
设机器人的速度为，则电子狗的速度为，电子狗失败的区域内任意点
可得，，
即，，
即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部；
(2)当线段与(1)中圆相切时，
，所以
若电子狗在线段上都能逃脱，点的横坐标取值范围是.
2．(2021·安徽)在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a(a为锐角)角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．
(1)若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？
(2)若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据题意画出图形，如图所示，
则圆的方程为，
设过点的直线方程为，；
即，
则圆心到直线的距离为，
化简得，
解得；
，
，
，
若轮船不被风暴影响，则角a的正切值的最大值为；

(2)若轮船航行方向为北偏西，则直线方程为，
则圆心到该直线的距离为，
弦长为，
则轮船被风暴影响持续的时间为.
3．(2020·全国高二课时练习)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.

问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
【答案】0.5 h
【解析】如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.

直线AB方程：＋＝1，即3x＋4y－120＝0.
设O到AB距离为d，则d＝＝24