数学人教A版 (2019)3.2 双曲线巩固练习

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3.2.2 双曲线的简单几何性质(精练)【题组一  双曲线的离心率或渐近线】1．(2021·全国高二单元测试)已知双曲线的离心率是，则(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】因为双曲线的离心率是，所以，解得(舍去).故选：D.2．(多选)(2021·河北张家口·)已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是(　　)A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4C．离心率为 D．渐近线方程为【答案】BD【解析】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.故选：BD3．(多选)(2021·重庆市合川实验中学高二开学考试)下列双曲线中，渐近线方程为的是(    )A． B． C． D．【答案】AC【解析】对A，令，故A正确；对B，令，故B错误；对C，令，故C正确；对D，令，故D错误；故选：AC4．(2021·全国高二课时练习)(多选)已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是(    )A．若，则双曲线离心率的取值范围为B．若，则双曲线离心率的取值范围为C．若，则双曲线离心率的取值范围为D．若，则双曲线离心率的取值范围为【答案】BC【解析】由题意，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，若，可得，根据双曲线的定义可得，则，解得；若，可得，根据双曲线的定义可得，则，解得．故选：BC．5(多选)．(2021·河北沧州市一中)若三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是(    )A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为三个数1，，9成等比数列，所以，解得，当时，曲线的离心率为：，当时，曲线的离心率为：．故选：AD．6．(2021·全国高二课时练习)设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为(    )A．2 B． C． D．【答案】A【解析】因为直线过，两点．所以直线的方程为，即，所以原点到的距离①．又②，所以，即，故，解得或．当时，，与矛盾，所以．故选：A7．(2021·全国高二单元测试)若双曲线的离心率，则(    )A．3 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】 由已知双曲线得，所以，解得，故选：D．8．(2021·全国高二单元测试)已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】若是锐角三角形，则只需．在中，，，则，又，∴，∴，∴．又，∴．故选：B．9．(2021·全国高二课时练习)已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，所以．因为点A，在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以．故选：D.10．(2021·全国高二课时练习)在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为(    )A． B． C． D．2【答案】A【解析】因为一条渐近线的斜率为，即，所以．故选：A11．(2021·全国)已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】由得，，根据三角形的性质可知，为直角三角形，且，．由双曲线的定义可得，，又，可得．所以可化为，即，而，，解得，又，．故选：A．12．(2021·浙江省淳安县汾口中学)已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，，即，，可得，即，即，又即，又，即，所以，即，即，可得，，即，故选：．13．(2021·浙江省淳安县汾口中学)已知点分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是(    )A． B．或 C．2 D．3【答案】A【解析】根据题意可设，将代入，解得，则，所以，因为为等边三角形，则，即，又，所以，即，则，解得或，又因为双曲线的离心率，所以双曲线的离心率.故选：A.【题组二 直线与双曲线的位置关系】1．(2021·全国)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(    )A．(－2，2) B．[－2，2)C．(－2，2] D．[－2，2]【答案】A【解析】因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由，解得－2<k<2.故选：A.2．(2021·上海市复兴高级中学高二期中)若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，只需，解得：.所以实数的取值范围是故选：C3．(2021·安徽高二期末(理))直线l过点(2，1)，且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】直线l的斜率存在时，设l的方程为：，由得，时，不成立，方程组无解，时，解得，方程组有唯一解，即直线l与双曲线有唯一公共点，时，，即直线l的斜率存在时，符合条件的直线只有一条，当直线l的斜率不存在时，直线l：x=2，代入双曲线方程得y=0，即直线l与双曲线也有唯一公共点，所以符合条件的直线有2条.故选：B【题组三 弦长】1．(2021·全国高二课时练习)求双曲线被直线截得的弦长______________．【解析】联立方程组，整理得，设直线与双曲线交于两点，设，则，由弦长公式可得.故答案为：.2．(2021·广西高二期末(理))过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.【答案】【解析】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，设直线方程为()，由直线与圆相切知，解得或，当时，双曲线的一条渐近线的斜率是，，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得.设，，则，，所以.故答案为：3(2021·全国高二课时练习)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.【答案】3【解析】双曲线焦点坐标为F1(－2，0)、F2(2，0)，直线AB的方程为y＝ (x＋2)把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1＋x2＝，x1x2＝|AB|＝·＝×＝3故答案为：34．(2021·鸡东县第二中学高二期末(文))已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为：；(2)不妨设焦点，则直线：由消去得：．设，，则，，所以．【题组四  点差法】1．(2021·全国高二课时练习)设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．【答案】【解析】设，，则，，则 ，两式相减得，，所以直线的方程为即，代入满足，所以直线的方程为.故答案为：.2．(2021·福建省南安市侨光中学高二月考)已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．【答案】0或【解析】设，，，，的中点为，，则，由点差法可得，即①，显然，又因为②，代②入①可得；由两点关于直线对称，可得，所以，又因为，所以，代入抛物线方程得，解得或．故答案为：0或．3．(2021·吉林长春外国语学校高二开学考试)过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.【答案】【解析】设，，则，，两式相减可得：，所以，因为点是线段的中点，所以，，所以，因为，所以，即，因为，所以，，所以双曲线方程是，故答案为：.4．(2021·福建龙岩·高二期末)过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.【答案】【解析】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为．故答案为：．5．(2021·全国高二课时练习)双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.【答案】【解析】设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，，即，设点，，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：6．(2021·全国高二单元测试)过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】因为双曲线方程为则设,因为点恰为线段的中点则则,两式相减并化简可得 即直线的斜率为2所以直线的方程为 ,化简可得因为直线与双曲线有两个不同的交点所以解得且所以的取值范围为故答案为: 【题组五 最值问题】1．(2021·辽宁抚顺·)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为______.【答案】2【解析】不妨设在第一象限，在第四象限，联立方程组，解得故，同理可得，所以..因为的焦距为4，所以，，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为2.故答案为：2.2．(2021·陕西高二期末(文))若双曲线与圆没有公共点，求实数k的取值范围为________．【答案】【解析】双曲线焦点在轴上，所以，可得长半轴长 ，由可知圆心为，半径为1，若双曲线与圆没有公共点，则，即，所以或，所以实数k的取值范为，故答案为：3(2021·上海高二专题练习)已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.【答案】【解析】设点，则点,所以，，，因为是双曲线上的点，故，所以，故的取值范围是.故答案为：4．(2021·上海高二专题练习)已知A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在第一象限内的双曲线上，记PA、PB、PO的斜率分别为、、，则的取值范围为_________.【答案】【解析】设点由题可知：所以又，所以所以，由双曲线的渐近线方程为且在第一象限所以，所以故答案为：5．(2021·全国高二课时练习)已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．【答案】【解析】曲线C是由、以及三部分构成(如图所示)，，且过AB的直线方程为，并且直线为双曲线和的渐近线，设过点P且与直线平行的直线方程为，由图知，当直线与曲线相切时，切点到直线距离最大，联立消去得，，解得(正根舍)，所以，所以点到直线的最大距离即为直线与直线之间的距离，所以最大距离，所以面积的最大值为．故答案为：6．(2021·上海高二专题练习)平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是______.【答案】【解析】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由可得，所以机器人的运动轨迹方程为；直线，即，联立得，当时，若，则此时直线恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若，显然不符合题意.当时，由得，解得；综上可得的取值范围是.故答案为：.