2022年湖北省荆州市中考数学模拟试卷(word版含答案)

2022年湖北省荆州市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，数轴上的、、、四点中，与数表示的点最接近的是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

3. 如图，一个含有角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 杭州市城区实行全新的阶梯水价，之前为了解某社区居民的用水情况，随机对该社区户居民进行了调查，下表是这户居民年月份用水量的调查结果：那么关于这次用水量的调查和数据分析，下列说法错误的是(    )

A. 平均数是吨 B. 众数是吨
C. 中位数是吨 D. 样本容量是

5. 体育测试中，甲和乙进行米跑测试，甲的速度是乙的倍，甲比乙少用了秒，设乙的速度是米秒，则所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知直线与轴、轴分别交于，点，与的图象交于、两点，是点关于点的中心对称点，于，若的面积与的面积之和为时，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，等边和等边，其中、、三点共线，连接、、、，下列说法中：平分；；；正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 如图，是斜边边上的高，下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图是用棋子按一定的方式摆成的图案，已知图需要枚棋子，图需要枚棋子，图需要枚棋子，按照这样的方式摆下去，则图需要枚棋子．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 填空：
              
                        
12. 如图，平行四边形，为中点，延长至，使：：，联结交于点，则：______．

13. 请写出一个比大且比小的无理数：______．
14. 如图，在中，，，点，，分别是线段，，的中点，下列结论：为等边三角形．；；其中正确的是______．

15. 某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等都等于，则______

16. 抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的解析式是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程组：．
18. 计算：．
19. 某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．
    
    请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
    本次抽样调查共抽取了______名学生？测试结果为等级的学生数是______，并补全条形图；
    若从体能为等级的名男生名女生中随机的抽取名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两名恰好都是男生的概率．
20. 已知梯形中， ， 如图所示 的平分线交于点，连接．
    
    在图中，用尺规作 的平分线保留作图痕迹，不写作法，并证明四边形是菱形；
    若 ， ，求证： ．
21. 昆明市每年推进个美丽乡村建设．为加快建设全域美丽乡村，某县对，两地间的公路进行改建，如图，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需途径地沿路线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，．
    开通隧道前，汽车从地到地大约要走多少千米？
    开通隧道后，汽车从地到地大约少走多少千米？结果精确到千米，参考数据：，

22. 如图，函数的图象交轴于，交轴于，点是直线上任意一点，轴，是垂足，设点的坐标为，的面积为当点与、重合时，其面积记为．
    
    试求与之间的函数关系式；
    在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得的点的个数．
23. 如图，已知直线与抛物线交于点、．
    若，且点坐标为，求抛物线解析式与点坐标；
    如图，若，将直线沿着轴翻折，在第四象限交抛物线于点，若，求的值；
    如图，已知抛物线与直线解析式分别为与，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上与点、不重合，点是轴正半轴上的动点，记，，，，当满足的点有两个时，求的最小值，并求出此时的坐标．
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是点从点开始沿轴向点以的速度移动，点从点开始沿轴向点以相同的速度移动，若、同时出发，移动时间为 ．

当 时，求的值．

是否存在这样的值，使得线段将的面积分成的两部分．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

当 时，试判断此时的外接圆与直线的位置关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方的定义，幂的乘方运算法则，合并同类项法则，二次根式的加减运算法则以及分式的化简方法逐一判断即可．
本题主要考查了实数的运算、幂的乘方以及合并同类项，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是实数与数轴及估算无理数的大小，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
先估算出，所以，根据点、、、表示的数分别为、、、，即可解答．
【解答】

解：，
，
点、、、表示的数分别为、、、，
与数表示的点最接近的是点．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，，
，
故选C．
根据矩形性质得出，推出，求出即可．
本题考查了矩形的性质和平行线的性质的应用，关键是运用：两直线平行，内错角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：、平均数吨，正确，不符合题意；
B、众数是吨，正确，不符合题意．
C、中位数吨，错误，符合题意；
D、样本容量为，正确，不符合题意．
故选C．
根据平均数、中位数、众数的概念，对选项一一分析，选择正确答案．
考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设乙的速度是米秒，则甲跑米用的时间为秒，乙跑米用的时间为秒，
甲比乙少用了秒，
方程是，
故选：．
先分别表示出甲和乙跑米的时间，再根据甲比乙少用了秒列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出甲、乙的速度，以及甲和乙跑米所用的时间，根据时间差列方程即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线与轴、轴分别交于、点，
，．
把代入，整理，得．
设点的坐标为，点的坐标为，
则、是一元二次方程的两个根，
，  ．
的面积的面积，
，
，
将代入上式，得，
，
故选：．
先求出、两个点的坐标，再设点的坐标为，点的坐标为，联立与，则、是一元二次方程的两个根，根据方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，并结合已知面积的条件即可求出的值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点、方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及三角形的面积公式，综合性较强，难度中等．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
故选：．

根据判别式的意义得到，即可求得．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于，于．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
于，于．
，
，
≌，
，
平分，故正确；
，，，
≌，
，故正确
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确，
故选：．
作于，于由≌，≌，角平分线的判定定理以及即可一一判断即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行线的判定、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是斜边边上的高，
由射影定理得，，A正确，不符合题意；
，B正确，不符合题意；
，C正确，不符合题意；
，D错误，符合题意；
故选：．
根据射影定理判断即可．
本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
 

10.【答案】 

【解析】解：第个图形需要枚棋子，
第个图形需要枚棋子，
第个图形需要枚棋子，

第个图案有：枚，
故选：．
本题可依次解出，，，，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第个及第个图案需要的棋子枚数．
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：；
故答案为：，．
运用配方法的运算方法，第一步如果二次项数不是，首先提取二次项系数，一次项与二次项都提取二次项系数并加括号，常数项可以不参与运算，但本题的两个二次项系数都是；第二步配方，加常数项为一次项系数一半的平方，注意括号外应相应的加减这个常数项，保证配方后不改变原式的值，分别进行运算即可．
此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
：：，
，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
，
∽，
，
故答案为：．
先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解本题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
比大且比小的无理数是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
为中点，
，
为等边三角形，
是线段的中点，
，
，
，为的中点，
，
为等边三角形，正确；
，
，
，
，
为等边三角形，是线段的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，正确；
为等边三角形，是线段的中点，
，
，为的中点，
，
，
，故正确；
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，故正确；
综上所述，都正确；
故答案为：．
根据三角形的中位线定理和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设于交于，与交于，
，，，，
，，，
设圆拱的半径为，
在中，，
，
解得，
，
，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为．
根据题意和垂径定理得到，，，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得，即可求得．
本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向上平移个单位得到的对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式为．
故答案为．
先得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移后的对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

17.【答案】解：，
，可得，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是． 

【解析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

18.【答案】解：原式． 

【解析】根据特殊角三角函数值，零次幂，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

19.【答案】解：；；
补全图形如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率也考查了统计图．
用等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，用总人数分别减去、、等级的人数得到等级的人数，然后补全条形图；
画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：本次抽样调查抽查的人数为人，等级人数为人，
补全图形如下：

故答案为、；
见答案．  

20.【答案】解：分别以点，为圆心，以大于的长度为半径，分别作弧，且两弧交于一点，则连接，即即为 的平分线，且交于点， ≌ ， ．

， ， ，



≌ ．

平行且相等，

四边形为平行四边形，另 ，

四边形为菱形．

设 ，则 ，过点作 ．

， ， ，

，则， ．



， ，，构成一组勾股数， 为直角三角形，则 ． 

【解析】略
 

21.【答案】解：过点作的垂线，垂足为，

，，千米，
千米，
千米，
千米，
答：开通隧道前，汽车从地到地要走千米；

，千米，
千米，
，千米，
千米，
千米，
汽车从地到地比原来少走多少路程为：千米．
答：汽车从地到地比原来少走的路程为千米． 

【解析】过点作的垂线，垂足为，在直角中，解直角三角形求出，进而解答即可；
在直角中，解直角三角形求出，再求出，进而求出汽车从地到地比原来少走多少路程．
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

22.【答案】解：
解法：当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
；
当或时，；
于是，分；

下图中的实线部分就是所画的函数图象．分
观察图象可知：
当时，符合条件的点有四个；
当时，符合条件的点有三个；
当时，符合条件的点只有两个．分
解法：，，
分
分
以下同解法． 

【解析】本题要根据题意把各种情况都讨论出来，同时把的面积表示出来．要根据题意列式整理分析，在根据解析式画出图象．
本题考查一次函数有关分情况讨论的问题，解题中要注意对各种情况做出准确分析，尤其是值做好取值范围的分段，
 

23.【答案】解：点在直线上
，即直线为
点在抛物线上，
，解得：
抛物线解析式为
  解得：即点
点坐标为；
过点作轴于点，过点作轴于点
点在直线上，设
，
点关于轴对称点
直线沿着轴翻折得到直线解析式为，
、都是等腰直角三角形
点、都在抛物线
消去后整理得：，即
消去后整理得：
；
过点作轴于点
  解得：，，
点在第一象限
，，
设直线与轴交点为，则为等边三角形
，
设直线解析式为：
  解得：
直线：
  解得：即点
点与点重合，点在轴上
，
∽
 即
，
，

，
令，则原式，
，
当时，的最小值为，
此时，，解得：，，
当时，，，
当时，，，
，
综上所述，的坐标为：， 

【解析】把点代入直线即求得直线解析式，把点坐标和代入抛物线解析式即求得的值进而得抛物线解析式．把直线和抛物线解析式联立方程组，解得的一个解为点坐标，另一解即为点坐标．
设点坐标为，直线沿轴翻折后得到直线，所以点横纵坐标绝对值相等．由可得点横坐标为点横坐标的倍，所以把点、坐标代入抛物线解析式，列得关于、、的方程组，整理即得．
先求得点、坐标，根据特殊角三角函数值求得，继而可得为等边三角形，进而可得：点与点重合，点在轴上，由∽可得，过点作轴于点，可得，进而可得，根据题意可得：
，运用换元法令，可得原式，运用二次函数最值可得：当时，的最小值为，通过解方程求值进而可求得点的坐标．
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，几何变换翻折，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，特殊角三角函数值；是一道涉及知识点多，难度大的代数几何综合型中考压轴题．
 

24.【答案】；

存在，当  时，线段  将  的面积分成的两部分；

当时，  的外接圆与直线  相离．

【解析】 解：   

 ∽

即 

假设存在

当的面积是  的面积的  时，

解之，

当的面积是  的面积的  时，

即 

方程无解，此种情况不存在                       

综上可知，当  时，线段  将  的面积分成的两部分．

当时，点，

设  的外接圆的圆心为，则点的坐标是，     

过点，作于，连结，，

利用面积法，

解之，

  的外接圆与直线  相离．