河北省邯郸市2022届高考数学二模试卷及答案

 高考数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．[—1，7]

C． D．（2，4）

2．已知，则|z|＝（　　）

A．2 B．2 C． D．

3．函数在上的值域为（　　）

A． B． C． D．

4．甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（　　）

A．－ B．－ C．－ D．－

6．若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（　　）.

A． B． C． D．

7．已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（　　）

A． B．1 C． D．

8．已知函数，且，，，则（　　）.

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列各式的值为的是（　　）.

A．sin B．sincos

C． D．

10．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（　　）

A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F

11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若且，则)的值可能为（　　）

A．－2 B．0 C．2 D．4

12．已知P是圆O：上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（　　）

A．当P点坐标为(2，0)时，圆P的面积最小

B．直线AB过定点

C．点Q到直线AB的距离为定值

D．

三、填空题

13．的展开式中的常数项为　     　．（用数字作答）

14．若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则C的离心率为　     　．

15．已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，其内切球的半径为1，则此三棱锥的高为　     　．

16．已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝　     　．

四、解答题

17．已知等比数列{}的公比，且，．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且．

（1）若，，且∠CAD为锐角，求CD的长；

（2）若，求的值．

19．如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等腰直角三角形，且，△ABP是正三角形．

（1）若，求证：平面ABP⊥平面ABC；

（2）若直线PC与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值．

20．已知甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制，即两人中先胜三局的人赢得这场比赛，比赛结束．已知第一局比赛甲获胜的概率为，且每一局的胜者，在接下来一局获胜的概率为．

（1）求两人打完三局恰好结束比赛的概率；

（2）设比赛结束时总的比赛局数为随机变量X，求X的数学期望．

21．已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．

（1）求C的标准方程；

（2）过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．

22．已知函数，．

（1）若，分析f（x）的单调性；

（2）若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】A

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】A,D

10．【答案】A,B,D

11．【答案】B,C

12．【答案】A,C,D

13．【答案】84

14．【答案】

15．【答案】3

16．【答案】-e

17．【答案】（1）解：由，或（舍去），

所以；

（2）解：由（1）可知，所以，

所以，设数列{}的前n项和为，

，

，

，得，

即.

18．【答案】（1）解：由，，则，

所以，又∠CAD为锐角，则，

又，在△中，可得.

（2）解：由，

在△中，则，

在△中，则，

又，故，又，

所以.

19．【答案】（1）证明：设的中点为，连接，

因为，所以，

因为△ABP是正三角形，所以，因此，

而平面，所以平面，

而平面，所以，

因为△ABC为等腰直角三角形，且，

所以，而平面ABP，

所以平面ABP，而平面ABC，

所以平面ABP⊥平面ABC；

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，

因为△ABP是正三角形，所以该三角形的高为，

于是有，设平面ABC的法向量为，，

因为直线PC与平面ABC所成角为，

所以，而，

解得：，，即，

设平面的法向量为，

，，

所以有，

.

20．【答案】（1）解：由题意，两人打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局甲胜}、{三局乙胜}，

而第一局比赛甲获胜的概率为，则第一局比赛乙获胜的概率为，又胜者在接下来一局获胜的概率为，

所以{三局甲胜}的概率为；{三局乙胜}的概率为；

所以两人打完三局恰好结束比赛的概率.

（2）解：由题意知：X可能值为3、4、5，由（1）知：，

当时，前三局{两局甲胜，一局乙胜，最后甲胜}、{两局乙胜，一局甲胜，最后乙胜}，

{两局甲胜，一局乙胜，最后甲胜}的概率，

{两局乙胜，一局甲胜，最后乙胜}的概率，

所以，

当时，前四局{甲乙各胜两局}，

，

综上，.

21．【答案】（1）解：因为△PAB的面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点，

所以有；

（2）解：由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为，

与椭圆方程联立为：，

设，

因为，所以，，

直线AG的方程为：，令，

得，即，

同理可得：，

，

因为，

所以有，

于是有，

因此为定值.

22．【答案】（1）解：且，

设，当时，单调递增，

当时，单调递减，故当时，函数有最小值，

因此有，

设，

∴时，

∴，即（取等号的条件是），

是上的单调递减函数；

（2）解：在区间上能成立，

且，

设，当时，单调递减，

当时，单调递增，故当时，函数有最大值，

因此有，

设，则，

设，则在区间上，单调递增，

，

故，亦即单调递减，

在区间上值域为，

实数的范围是 .