上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷及答案

上海市徐汇区2022届高三数学二模试卷

一、填空题

1．若，则　     　.

2．不等式的解集为　         　.

3．在的二项展开式中，项的系数为　     　．

4．已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为　     　．

5．圆的圆心到直线：的距离　     　

6．若关于的实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），则　     　．

7．已知，若直线：与直线：平行，则　     　．

8．已知实数、满足约束条件，则的最小值是　     　．

9．设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是　     　．

10．上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是　     　．（结果用最简分数表示）

11．在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为　     　．

12．已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是　           　．

二、单选题

13．下列以为参数的方程所表示的曲线中，与曲线完全一致的是（　　）

A． B． C． D．

14．已知函数，，则“”是“的值域为”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

15．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（　　）

A．60 B．70 C．80 D．100

16．设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（　　）

A．若等比数列是收敛数列，则公比

B．等差数列不可能是收敛数列

C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列

D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列

三、解答题

17．如图，已知为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，，，圆柱的表面积为．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成的角的大小．

18．已知为实数，函数，．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．

19．某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．

（1）求、的长（用的代数式表示）；

（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？

20．在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值；

（3）过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

21．对于数列，记．

（1）若数列通项公式为：，求；

（2）若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；

（3）已知，若，．求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】

2．【答案】（1，2）

3．【答案】-20

4．【答案】π

5．【答案】3

6．【答案】4

7．【答案】3

8．【答案】2

9．【答案】b≤-1

10．【答案】

11．【答案】1或

12．【答案】

13．【答案】D

14．【答案】B

15．【答案】A

16．【答案】C

17．【答案】（1）解：由题意，是圆柱的底面圆的一条直径，且，其表面积为，

可得，解得，

在中，由且，可得，所以，

在中，且，可得，

所以三棱锥的体积.

（2）解：由为圆柱的底面圆的一条直径，为圆周上的一点，可得，

又由平面，平面，所以，

因为且平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面，

过点作，垂足为，如图所示，

因为平面平面，平面平面，且平面，

所以平面，所以为直线与平面所成的角，

又由，，可得，

在直角中，可得，

在直角中，可得，所以，

即，所以直线与平面所成的角的大小.

18．【答案】（1）解：当时，，

当时，，此时函数的单调递增区间为；

当时，，此时函数的单调递增区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为和

（2）解：当时，由可得，即，所以，，

所以，，整理得对任意的恒成立，

因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，

只需考虑不等式对任意的恒成立，

当时，，

令，，

由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，

当时，，因此，.

19．【答案】（1）解：由题意得，米，，则，

又由，，

，所以；

在中，由正弦定理得：

，即米；

同理，在中，

，即米；

综上所述：米，米.

（2）解：由（1）知，综米，米，

所以小老虎休息区面积为：

化简得：

又，，

则当，即时，取得最小值；

此时小老虎活动区面积取得最大值，即

平方米.

综上所述：

当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.

20．【答案】（1）解：由点关于直线的对称点为，则

则，

所以，即

所以曲线的方程为：

（2）解：由点在曲线上，设，点在直线上，设

由，即，

由，则

所以

当时，，此时不满足，即不满足.

所以，由，则

由，则设

由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减.

此时当时，

所以线段长的最小值为

（3）解：在轴上存在一定点，使得、、三点共线.

设 则

由题意设直线的方程为

由，可得

所以

直线的方程为

令，得

所以直线：恒过点

所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线.

21．【答案】（1）解：由通项公式得：.

所以

（2）证明：充分性：若数列的前n项单调不增，即.

此时有：.

必要性：用反证法. 若数列不满足，则存在k()，使得，那么

由于，所以.与已知矛盾

所以，假设不成立，必要性得证.

综上所述：的充分必要条件是

（3）解：由，令，则.

所以

所以

.

（因为）

当且仅当时， 取得最大值2021.