浙江省“数海漫游”2022届高三下学期数学第二次联考试卷及答案

浙江省“数海漫游”2022届高三下学期数学第二次联考试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．设非零实数，使得曲线：是双曲线，则（　　）

A． B． C． D．

3．已知平面和直线有交点，则“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为30°的直线，，使得且”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（　　）

A．6 B． C． D．

5．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（　　）

A． B． C． D．

6．函数的图像可能是（　　）

A． B．

C． D．

7．已知，，是两两不相等的非负实数，随机变量的分布列是

则（　　）

A．无最小值，无最大值 B．无最小值，有最大值

C．有最小值，无最大值 D．有最小值，有最大值

8．已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（　　）

A． B． C． D．

9．已知抛物线：，则使得经过点，和抛物线在处的切线斜率相等，且和坐标轴相切的点有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．已知等比数列的公比，则（　　）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

二、填空题

11．中国古代数学著作《九章算术》中记载买鸡问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何?”设人数为，鸡价为，则那么，　     　，　     　.

12．若实数，满足约束条件，则的最小值是　     　，最大值是　     　.

13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M是边BC中点.若，，则　     　，的面积是　     　.

14．已知，，函数.若不等式对于任意实数恒成立，则的最小值是　     　，最大值是　     　.

15．已知是正整数，二项式的展开式的常数项是，则　     　.

16．将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有　     　种.（用数字作答）

17．若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是　         　.

三、解答题

18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，且点在圆：上.

（1）若点的横坐标为-3，求的值；

（2）若角满足，求的最大值.

19．如图，在四棱台中，，，.

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知数列满足：，.

（1）证明：，；

（2）证明：，.

21．如图，已知点，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是轴上一点，且在点左侧，过和的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）记，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求面积的最小值.

22．已知，，函数的导函数存在.

（1）若恒成立，证明：；

（2）若.证明：当时，.注：是自然对数的底数.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】D

10．【答案】A

11．【答案】9；70

12．【答案】7；7

13．【答案】16；

14．【答案】-2π；

15．【答案】5

16．【答案】16

17．【答案】

18．【答案】（1）解：若点的横坐标为，因为点在圆：上

所以，或，

所以，或，

所以，当时，

当时，

（2）解：易知的最大值不超过1，

下面证明：的最大值是1.只需证明，满足条件.

①由于满足；

②设，则，

即，

所以，存在点使得.

综上所述，的最大值是1

19．【答案】（1）证明：在四棱台中，延长交于点，

因为在四棱台中，

所以，

在中，E为PA中点，故.

因为，，

所以，

因为，

所以平面，所以，得证.

（2）解：设.则.

由于平面，则平面，

所以，直线与平面所成角即.

因为在四棱台中，，，

所以为中点，

所以，

则

即直线与平面所成角的正弦值为

20．【答案】（1）证明：对任意，.

因为，，，

假设当时，，则，

这说明当时，也成立，

综上所述，，

（2）证明：先归纳证明：对任意，，

因为，，，，，

，

假设当时，，

则当时，，

，

这说明当时，，

综上所述，，，所以，，

故，得证!

21．【答案】（1）解：由题意，椭圆，可得，可得，

因为是轴上一点，且在点左侧，设，其中，

则直线的斜率，即直线斜率的取值范围为

（2）解：设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，，可得，

由，则， ， ，

所以，，则，

又由，

则，

由，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以面积的最小值是24.

22．【答案】（1）证明：要证明：，即证明：.

记，由，得在上单调递减.

于是由，得，得证.

（2）解：由，记，

则，当，，，，

所以，则由（1）知，.

下面，我们只需说明，即.

由于，记，则单调递减.

又，则.故.

于是在上单调递增，在上单调递减.又，，

，所以在上恒成立，所以在上单调递增.

①当时，，

又，则.

②当时，先证明：.由于在上单调递减，则

.

再证明：当时，，即证明：.

记，，故，得证!

综上所述，我们得到.