山东省临沂市2022届高三数学二模考试试卷及答案

 高三数学二模考试试卷

一、单选题

1．若复数 满足 ，则 （　　） 

A． B． C． D．

2．设集合 ， ，则 （　　） 

A． B． C． D．

3．已知平面向量 ， ，若 ，则 （　　） 

A． B． C． D．

4．已知双曲线 的焦距为 ，实轴长为4，则C的渐近线方程为（　　） 

A． B． C． D．

5．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （　　） 

A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2

6．一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（　　） 

A．6800 B．7000 C．7200 D．7400

7．已知 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 的系数为（　　）

A．-120 B．-40 C．40 D．120

8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积 ．根据此公式，若 ，且 ，则△ABC的面积为（　　） 

A． B． C． D．

二、多选题

9．对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是（　　） 

A． B． C． D．

10．已知a， ，则使“ ”成立的一个必要不充分条件是（　　） 

A． B．

C． D．

11．如图，已知椭圆 ， ， 分别为左、右顶点， ， 分别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为 的是（　　） 

A．

B．

C． 轴，且

D．四边形 的内切圆过焦点 ，

12．如图，在直三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ，点M在 上，且 ，P为线段 上的点，则(　　) 

A． 平面

B．当P为 的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为

C．存在点P，使得

D．存在点P，使得三棱锥 的体积为

三、填空题

13．已知函数 ，则 的值为　     　． 

14．已知函数 是偶函数，则 　     　． 

15．若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则直线 恒过定点M的坐标为　          　． 

16．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图①是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图②中的实线图形，两段曲线是椭圆 的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则 　     　；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为　     　

四、解答题

17．已知数列 的前n项和为 ， ， ． 

（1）求 的通项公式； 

（2）记 ，求数列 的前n项和 ． 

18．已知函数 ， ，且 在 上的最大值为 ． 

（1）求 的解析式； 

（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，求 的值． 

19．如图，AB是圆柱底面圆O的直径， 、 为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且 ，E、F分别为 、 的中点． 

（1）证明：EF 平面ABCD； 

（2）求平面OEF与平面 夹角的余弦值． 

20．甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．

（1）甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；

（2）甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．

21．已知函数 ． 

（1）若存在 ，使 ≤ 成立，求a的取值范围； 

（2）若 ，存在 ， ，且当 时， ，求证： ． 

22．已知抛物线 的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5， 为坐标原点， ． 

（1）求抛物线H的方程；

（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线 上的动点． 

①求证： ．

②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】A

9．【答案】A,C

10．【答案】B,C

11．【答案】A,B,D

12．【答案】B,D

13．【答案】

14．【答案】2

15．【答案】

16．【答案】；44π

17．【答案】（1）解：由 得 ， 

∴ ，

∴ .

又 ， ，∴ ，整理得 .

∴数列 是首项为1，公比为2的等比数列，

∴数列 的通项公式为： .

（2）解：由（1）得 ，∴ . 

∴ ，

即 ，

，

两式相减，得 ，

∴ .

18．【答案】（1）解：因为 ，所以周期 ，又 在 上的最大值为 ，且 ， 

所以当 时， 取得最大值 ，所以 ，且 ，即 ，

，故 ，解得 ，故 ；

（2）解： ，又 ，则 ， 

.

19．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ， 

为 的中点， 为 的中点，

∥ ， ，又 ∥ ， ，

∥ ， ，

四边形 为平行四边形， ∥ ，

又 平面 ， 平面 ，

∥平面 ．

（2）解：设 ， ， ． 

由题意知 、 、 两两垂直，故以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系．

则 、 、 、 、 ，

的中点 的坐标为 ，

∴ ， ，

设平面 的一个法向量为 ，

则 ，即 ，即 ，

令 ，得 ，

， ， ，

平面 ，

平面 的一个法向量为 ， ，

∴平面 与平面 夹角的余弦值为 ．

20．【答案】（1）解：两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为 ；

（2）解：依题意X=2，3，4，5，

  ，

X=3，就是前2个一个是红球，一个是白球，第3个是红球，     ，

X=4，就是前3个有2个白球一个红球，第4个是红球，     ，

X=5，分为前4个球中有3个白球1个红球，第5个是红球，

或者是前4个是白球，第5个是红球，或者是前4个球中3个白球一个红球，

第5个是白球 ，

分布列为：

数学期望   ；

综上，两球同色的概率为   ，数学期望为   .

21．【答案】（1）解：由 ，得 ， ，即 ， 

令 ，  ，则 ，

设 ， ，则 ，

在 上单调递增， ，

在 上， ， 单调递增，

，

取值范围是 ；

（2）证明：不妨设 ， 

， (*)，

，

令 ，故 ，故函数 在 上单调递增．

，从而 ，

由(*)得 ，

，

下面证明： ，

令 ，则 .即证明： ，则只要证明 ，

设 ， 在 恒成立，

在 单调递减，故 ，

，

．

22．【答案】（1）解：因为抛物线 的方程为 ，M 抛物线 上且的横坐标为5， 

所以M的纵坐标为 ，

当点 的坐标为 时，过点 作 ，垂足为 ，

因为 ，所以 ，所以

又 ，所以 ，

所以 ，所以 ，又

所以 ，

同理当点 的坐标为 时，

所以抛物线 的方程为 ；

（2）证明：①设直线 ， ，

由 ，得 ，

则 .

，

，

所以 ，所以

②假设存在这样的点 ，设 的中点为 ，由①知 ；

，则 ，则 ，

则 ，而 ，由 得， ，所以存在点 .