河北省沧州市2022届高三数学模拟测试卷及答案

 高三数学模拟测试卷

一、单选题

1．复数（　　）

A．i B．-i C．1 D．-1

2．设集合P，Q均为全集U的非空子集，且，则（　　）

A．P B．Q C． D．

3．设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则（　　）  

A． B．

C． D．

4．下列图象对应的函数解析式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（　　）

A．3 B．4 C． D．

6．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则说法错误的是（　　）

A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为

C．PM平分 D．

7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16

8．已知且，且，且，则（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，若，使，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（　　）

A． B．有3个零点

C．的对称中心是 D．

11．已知球O的半径为4，球心O在大小为60°的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体的体积为V，则正确的是（　　）

A．O，E，，四点共圆 B．

C． D．V的最大值为

12．已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则（　　）

A．

B．直线恒过定点

C．A、B中点轨迹方程：

D．面积的最小值为16

三、填空题

13．若，则的值为　     　．

14．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）　     　天.

15．英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△为等腰直角三角形，且，则△的面积是　     　.

16．如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为　     　，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为　     　． 

四、解答题

17．已知数列满足，前项的和，且.

（1）写出，并求出数列的通项公式；

（2）在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足_________，求实数使得数列是等差数列.

（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）

18．已知数列，满足.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：.

19．如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆上一动点，面积的最大值为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值；

（3）平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值.

21．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.

参考数据：若，则，，.

（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

22．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】B,C

10．【答案】A,B,D

11．【答案】A,B,D

12．【答案】A,B,D

13．【答案】-32

14．【答案】24.8

15．【答案】

16．【答案】；

17．【答案】（1）解：由得：；；

猜想可得：；

当时，满足；

假设当时，成立，

则当时，成立，

综上所述：当时，.

（2）解：若选条件①，，

若为等差数列，则，

即，

，整理得：，

即，，解得：，

则存在实数，使得为等差数列；

若选条件②，，，

若为等差数列，则，

，

，整理得：，

即，，解得：，

则存在实数，使得为等差数列.

18．【答案】（1）证明：，

，即，

，

数列是公比为2的等比数列.

又，，，

，

，

，

即.

（2）证明：由(1)，当n为偶数时，

，

故.

当n为奇数时，.

当n为偶数时，

.

综上，.

19．【答案】（1）证明：由题意知，

则，所以.

又，所以，所以，

又，所以平面PAC，

又平面ABC，所以平面平面ABC.

（2）解：以C为坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴，

过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以.

设平面AEF的法向量为，则

则，取，得.

设直线AB与平面AEF所成的角为，则，

所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）解：当P为短轴端点时，的面积最大，，

解得，

故椭圆的方程为.

（2）解：由（1）知，，

设直线，，

，

联立整理得，

由得，，

，，

故为定值4.

（3）解：如图

由题意，设，使，

，整理得，

又点Q在圆上，解得，

由椭圆定义得，，

当三点共线时，有最小值.

21．【答案】（1）解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即

（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．

所以，，，，，

所以的分布列为：

所以

（3）解：由（1）得，

，

所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，

由，，得，

所以估计在在之间通过的车辆数为辆．

22．【答案】（1）解：，

令，

则，；

当时，，在上单调递减，

又，，，使得，

则当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，又当时，，；

当时，，即；当时，，即；

的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：由（1）知：若，则，

要证，只需证，

，，

又在上单调递减，则只需证，

，则只需证，即证，

则需证，又，

只需证，即证，

令，

则，，

在上单调递减，，

在上单调递增，，

，原不等式得证.