山西省2022届高三理数一模试卷及答案

山西省2022届高三理数一模试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．设复数满足，则（　　）

A．-i B．-1 C．0或-1 D．0或-i

3．设，，则的最大值是（　　）

A．1 B． C． D．2

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个表面中面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．

5．已知命题，；命题，在定义域上是增函数.则下列命题中的真命题是（　　）

A． B． C． D．

6．展开式中的常数项是（　　）

A． B． C． D．

7．设，，，则、、的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

8．“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽，合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是（　　）

A．微、商、羽、角 B．微、羽、商、角

C．商、角、微、羽 D．角、羽、商、徵

9．已知数列的前n项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第n行有个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是（　　）

A．263 B．1052 C．528 D．1051

10．过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是（　　）

A． B． C． D．

11．如图①，在中，，，D，E分别为，AB的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．曲线y＝xex＋1在点(0，1)处的切线方程是　           　.

14．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程有实根的概率为　     　.

15．已知数列中，，，，数列的前n项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是　         　.

16．已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是　     　.

三、解答题

17．如图，圆内接四边形中，，，.

（1）求；

（2）求面积的最大值.

18．在如图所示的几何体中，平面平面，四边形是矩形，四边形为梯形，，，.

（1）证明：平面；

（2）设，求二面角的余弦值.

19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．

（1）求C的方程；

（2）已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．

20．已知函数．

（1）当时，证明：在定义域上是增函数；

（2）记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．（参考数据：，．）

21．甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.

（1）求甲夺得冠军的概率；

（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

22．在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若，求．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】D

8．【答案】A

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】B

12．【答案】C

13．【答案】x－y＋1＝0

14．【答案】

15．【答案】[4，+∞)

16．【答案】

17．【答案】（1）解：在中，由正弦定理得，即.

所以.

（2）解：因为四边形内接于圆，故.

设，，在中，由余弦定理得：

.

因为，所以，即，当且仅当时等号成立.

所以

所以面积的最大值是.

18．【答案】（1）证明：取中点E，连接AE，，BE.

则，，四边形ABCE为平行四边形，所以.

又平面，平面，所以平面.

由，，则四边形ABED为平行四边形，

所以，.

又，，

所以，.

所以四边形MBEN为平行四边形.

所以.

又平面，平面，所以平面.

因为，平面，平面.

所以平面平面.

因为平面，所以平面

（2）解：连接BD.

因为平面平面，，平面，

所以平面.

因为，，，

所以，

所以，所以，

因为，

所以.

所以以D为原点，分别以DB，，所在真线为x，y，z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，

所以，.

平面的一个法向量为，

设平面的法向量为.

则，即令，得.

，

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

19．【答案】（1）解：由题意知，

，化简得，

解得，故椭圆的方程为；

（2）解：设过点G的直线方程为，

，消去x，得，

，设，

则，所以

又，得，

所以直线AM的方程为，

直线BN的方程为，两式相除，

得，即，

又，

即，解得，

即直线AM与BN的交点的横坐标为4，

所以直线AM与BN的交点在定直线上.

20．【答案】（1）证明：由题设，且定义域为，

因为，则，当且仅当时等号成立，而，

所以，时有，故在上是增函数.

（2）解：由题设，，则且定义域为，

因为在内没有极值点，即或，

所以或在上恒成立，

令，则，当时；

当时，令则，，

所以在上递增，而，

所以在上，故在上递增，而，

综上，在上，即，

所以，在上，即单调递增，则，

故或，即a的取值范围为.

21．【答案】（1）解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，

事件“甲在第i局比赛中未胜”.

显然，，.

记事件“甲夺得冠军”，

则.

（2）解：设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或.

则，

故.

记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”.

因为每个求最多使用两次，故X的取值为：3，4，5.

由题意知比赛前盒内有6颗新球.

比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，.

若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，

此时，.

若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，

故下次必取得新球.即.

于是

.

故X的分布列为

故X的数学期望.

22．【答案】（1）解：的直角坐标为 ，的直角坐标为 ，

故圆的半径为 ，故圆的直角坐标方程为： ，

将 代入，得： ，

即圆C的极坐标方程为：；

（2）解：将 代入中，

得，设分别为A，B对应的极径，

故 ，

又，则 ，即 ，结合，

可得，

故.

23．【答案】（1）解：当时，，

当时，解得：，此时.

当时，解得：，不成立.

当时，解得：，此时.

综上可知：不等式的解集为：.

（2）解：因为，

不等式恒成立，等价于，即或，

即a的取值范围为：.