山东省枣庄市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

这是一份山东省枣庄市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题，共45页。试卷主要包含了÷，其中x＝﹣4，，其中x＝﹣1，的图象与性质进行探究等内容，欢迎下载使用。
山东省枣庄市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2022•枣庄）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4．
2．（2021•枣庄）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
二．在数轴上表示不等式的解集（共1小题）
3．（2022•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．


三．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
4．（2020•枣庄）解不等式组并求它的所有整数解的和．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
m
﹣3
﹣1
0
n

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　 　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　 　平移 　 　个单位而得到．
③函数图象关于点 　 　中心对称．（填点的坐标）
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

六．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

七．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

八．欧拉公式（共1小题）
11．（2020•枣庄）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形




顶点数V
4
6
8
　 　
棱数E
6
　 　
12
　 　
面数F
4
5
　 　
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　 　．
九．四边形综合题（共1小题）
12．（2021•枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

一十．切线的判定与性质（共2小题）
13．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

14．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．

一十一．圆的综合题（共1小题）
15．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

一十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
16．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


一十三．相似形综合题（共1小题）
17．（2020•枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
18．（2022•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

19．（2021•枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）

一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
20．（2020•枣庄）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）样本成绩的中位数落在 　 　范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？

一十六．中位数（共1小题）
21．（2022•枣庄）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
一、确定调查对象
（1）有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 　 　；
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．
抽取的学生视力状况统计表
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160
m
n
56
三、分析数据，解答问题
（2）调查视力数据的中位数所在类别为 　 　类；
（3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．

一十七．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2021•枣庄）某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A，B，C，D四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是 　 　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 　 　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 　 　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

山东省枣庄市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2022•枣庄）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣4时，
原式＝
＝﹣1．
2．（2021•枣庄）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝÷，
＝×，
＝．
∵x＝﹣1，
∴原式＝＝．
二．在数轴上表示不等式的解集（共1小题）
3．（2022•枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．


【解答】解：，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞，
∴不等式组的解集，
把解集表示在数轴上如下：

三．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
4．（2020•枣庄）解不等式组并求它的所有整数解的和．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以，所有整数解的和为﹣5．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2021•枣庄）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　5　，n＝　　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
m
﹣3
﹣1
0
n

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　增大　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　上　平移 　1　个单位而得到．
③函数图象关于点 　（0，1）　中心对称．（填点的坐标）
【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，
∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣+1＝，
∴n＝；
故答案为：5，；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：

（3）根据图象可得：
①在y轴左边，y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，
故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，1）中心对称，
故答案为：（0，1）．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

【解答】解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x得：，
解得：，故点A（﹣2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y＝﹣②；

（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y＝x+5交x轴于点C，
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝﹣10，
∴C（﹣10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，

则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AMOC•BN＝．
六．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
七．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
＝PG•AE
＝×3×（﹣m2+5m﹣3）
＝﹣（m2﹣5m+3）
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△OPE面积最大，
此时，P点坐标为（，﹣）；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3），

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1＝（舍）或m2＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，

如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m＝或m2＝（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m＝或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
9．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，

设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，
解得x＝1或，
故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；

（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），
故直线CM的表达式为y＝﹣（x﹣3）﹣3＝﹣x﹣，
令y＝﹣x﹣＝0，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，0）；
过点D作DH⊥CM于点H，

∵直线CM的表达式为y＝﹣x﹣，故tan∠MCD＝，则sin∠MCD＝，
则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3）×＝，
由点D、M的坐标得，DM＝＝，
则sin∠HMD＝＝，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为；

（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，

则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±（舍去负值），
故点Q（，）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．
八．欧拉公式（共1小题）
11．（2020•枣庄）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形




顶点数V
4
6
8
　6　
棱数E
6
　9　
12
　12　
面数F
4
5
　6　
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：　V+F﹣E＝2　．
【解答】解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形




顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）∵4+4﹣6＝2，
6+5﹣9＝2，
8+6﹣12＝2，
6+8﹣12＝2，
…，
∴V+F﹣E＝2．
即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．
故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2．
九．四边形综合题（共1小题）
12．（2021•枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，

∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
一十．切线的判定与性质（共2小题）
13．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即＝，
∴AD＝cm．
14．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．

【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF＝＝＝2，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝，
∴HF＝＝＝，
∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．

一十一．圆的综合题（共1小题）
15．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

【解答】解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．

一十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
16．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？


【解答】解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝＝＝4（cm），
由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4﹣t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图②，
AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，
∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，
∴BD＝（4﹣t）cm，
∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，
在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，
在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ＝PC，
∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，
∴t1＝，t2＝4（舍去）．
∴当t的值为时，四边形QPCP′为菱形．


一十三．相似形综合题（共1小题）
17．（2020•枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；
（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝∠DCE＝135°，
在△DCF和△DCE中，
，
∴△DCF≌△DCE（SAS）
∴DE＝DF；
（2）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F+∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE+∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝CE•CF；
（3）解：过点D作DG⊥BC于G，
∵∠DCB＝45°，
∴GC＝GD＝CD＝，
由（2）可知，CD2＝CE•CF，
∴CE＝＝2，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴＝，即＝，
解得，NG＝，
由勾股定理得，DN＝＝．

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
18．（2022•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

【解答】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
19．（2021•枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414）

【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒．
一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
20．（2020•枣庄）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝　8　，b＝　20　；
（2）样本成绩的中位数落在 　2.0≤x＜2.4　范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？

【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：

（4）1200×＝240（人），
答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
一十六．中位数（共1小题）
21．（2022•枣庄）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
一、确定调查对象
（1）有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 　方案三　；
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．
抽取的学生视力状况统计表
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160
m
n
56
三、分析数据，解答问题
（2）调查视力数据的中位数所在类别为 　B　类；
（3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．

【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）由题意可得，调查视力数据的中位数所在类别为B类；
故答案为：B；
（3）调查的总人数为：160÷40%＝400（人），
由题意可知，m＝400×16%＝64（人），
n＝400﹣64﹣56＝120（人），
1600×＝704（人），
所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人约为704人；
（4）该校学生近视程度为中度及以上占44%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）．
一十七．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2021•枣庄）某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A，B，C，D四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是 　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 　24　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为 　150°　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查；
王老师所调查的4个班共征集到作品有4÷＝24（件），
B班级的件数有：24﹣4﹣10﹣4＝6（件），补全统计图如下：

故答案为：抽样调查，24；

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角是：360°×＝150°；
故答案为：150°；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．