青海省西宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

这是一份青海省西宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题，共37页。试卷主要包含了﹣1，先化简，再求值，计算，＝x﹣2，解方程等内容，欢迎下载使用。
青海省西宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•西宁）计算：（﹣2）3++（）﹣1．
2．（2020•西宁）计算：3﹣2×|﹣9|+（﹣π）0．
二．完全平方公式（共1小题）
3．（2020•西宁）化简：3（x2+2）﹣（x﹣1）2．
三．因式分解的应用（共1小题）
4．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．

四．分式的化简求值（共1小题）
5．（2020•西宁）先化简，再求值：，其中．
五．负整数指数幂（共1小题）
6．（2021•西宁）计算：．
六．二次根式的混合运算（共1小题）
7．（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
8．（2021•西宁）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．
八．解分式方程（共2小题）
9．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．
10．（2021•西宁）解方程：﹣＝1．
九．解一元一次不等式组（共1小题）
11．（2020•西宁）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
一十．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
12．（2022•西宁）解不等式组：，并写出该不等式组的最大整数解．
一十一．一次函数的应用（共1小题）
13．（2021•西宁）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：
型号
载客量（人/辆）
租金单价（元/辆）
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
一十二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
14．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．

一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
15．（2021•西宁）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC＝，OC＝3．
（1）求OB的长和反比例函数的解析式；
（2）将△AOB绕点O旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A′的坐标．

一十四．反比例函数综合题（共1小题）
16．（2020•西宁）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

一十五．二次函数综合题（共3小题）
17．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．


18．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

19．（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

一十六．菱形的性质（共1小题）
20．（2022•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．

一十七．矩形的判定与性质（共1小题）
21．（2021•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求矩形OBEC的周长．

一十八．正方形的性质（共1小题）
22．（2020•西宁）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

一十九．切线的判定与性质（共1小题）
23．（2021•西宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．

二十．圆的综合题（共1小题）
24．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．

二十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2020•西宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．

二十二．解直角三角形的应用（共1小题）
26．（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？

二十三．列表法与树状图法（共3小题）
27．（2022•西宁）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是 　 　（填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．

28．（2021•西宁）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98
88
90
72
100
78
95
92
100
99
84
92
75
100
85
90
93
93
70
92
78
89
91
83
93
98
88
85
90
100
（1）本次抽样调查的样本容量是 　 　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是 　 　；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
29．（2020•西宁）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）参与问卷调查的总人数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．

青海省西宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•西宁）计算：（﹣2）3++（）﹣1．
【解答】解：原式＝﹣8+2+3
＝2﹣5．
2．（2020•西宁）计算：3﹣2×|﹣9|+（﹣π）0．
【解答】解：原式＝
＝2．
二．完全平方公式（共1小题）
3．（2020•西宁）化简：3（x2+2）﹣（x﹣1）2．
【解答】解：原式＝3x2+6﹣（x2﹣2x+1）
＝3x2+6﹣x2+2x﹣1
＝2x2+2x+5．
三．因式分解的应用（共1小题）
4．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．

【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
四．分式的化简求值（共1小题）
5．（2020•西宁）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
五．负整数指数幂（共1小题）
6．（2021•西宁）计算：．
【解答】解：原式＝4+2﹣3
＝6﹣3
＝3．
六．二次根式的混合运算（共1小题）
7．（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．
【解答】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
8．（2021•西宁）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．
【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
八．解分式方程（共2小题）
9．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括号得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移项，合并同类项得：
x＝7．
检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．
∴x＝7．
10．（2021•西宁）解方程：﹣＝1．
【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
九．解一元一次不等式组（共1小题）
11．（2020•西宁）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤2．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
．
一十．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
12．（2022•西宁）解不等式组：，并写出该不等式组的最大整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜﹣2，
∴不等式组的解集是x＜﹣2，
∴该不等式组的最大整数解为﹣3．
一十一．一次函数的应用（共1小题）
13．（2021•西宁）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：
型号
载客量（人/辆）
租金单价（元/辆）
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
【解答】解：（1）y＝900x+1200（10﹣x）＝﹣300x+12000，
∴y＝﹣300x+12000；
（2）根据题意，得﹣300x+12000≤11800，
解得：x≥，
∵x应为正整数，
∴x≥1，
∴A型客车至少需租1辆；
（3）根据题意，得16x+22（10﹣x）≥200，
解得x≤，
结合（2）的条件，≤x≤，
∵x应为正整数，
∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种，
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆；
∵y＝﹣300x+12000，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆．
一十二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
14．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），
∴4＝4a，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝4×1＝4．
∴反比例函数的表达式为：y＝．
（2）当x＝2时，y＝＝2，
∴B（2，2）．
∴BC＝2．
∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∵BC⊥x轴，
∴D的坐标为（1，2）或（1，6）．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
15．（2021•西宁）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC＝，OC＝3．
（1）求OB的长和反比例函数的解析式；
（2）将△AOB绕点O旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A′的坐标．

【解答】.解：（1）∵AB⊥x轴于点B，
∴∠OBC＝90°，
在Rt△OBC中，OC＝3，cos∠BOC＝，
∴＝，
∴OB＝2，
∴点A的横坐标为2，
又∵点A在正比例函数y＝x的图象上，
∴y＝＝1，
∴A（2，1），
把A（2，1）代入y＝得1＝，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式是y＝（x＞0）；
（2）若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（1，﹣2），
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣1，2），
一十四．反比例函数综合题（共1小题）
16．（2020•西宁）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．

【解答】解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，
把C点坐标代入y＝﹣x+1，得m＝﹣（﹣2）+1＝3，
∴点C的坐标是（﹣2，3），
设反比例函数的解析式为，
把点C的坐标（﹣2，3）代入得，，
解得k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为；

（2）在直线y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴B（0，1），
由（1）知，C（﹣2，3），
∴BC＝＝2，
当BC＝BP时，BP＝2，
∴OP＝2+1，
∴P（0，2+1），
当BC＝PC时，点C在BP的垂直平分线，
∴P（0，5），
即满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，）．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
17．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×（0）2+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．

18．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；

（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，
∴∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD，

（3）存在，理由如下：
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，即EM＝2，
∵B（0，3），
∴OB＝OD＝3，
∴BD＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣×6×2＝12，
设点P的坐标为（t，t2+t+3），
连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作BH2⊥PN于点H2，
∴N（t，﹣t+3），
∴PN＝t2+t+3﹣（﹣t+3）＝t2+t，
∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN•BH2+PN•AH1＝PN•OA，
∴S△ABP＝×6（t2+t）＝（t﹣3）2+，
∵＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，
∴四边形BEAP的面积最大值为+12＝，
∴当P点坐标是（3，）时，四边形BEAP面积的最大值是．

19．（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，

∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得，
∴P1的坐标为（，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴，
∴，
∴，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 ，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴P2的坐标为（，），
综上所述：点P的坐标为：（，1）或（，）．
一十六．菱形的性质（共1小题）
20．（2022•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）；
（2）解：设菱形的边长为x，
∵AB＝CD＝x，CF＝2，
∴DF＝x﹣2，
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x﹣2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
AE2+BE2＝AB2，
即42+（x﹣2）2＝x2，
解得x＝5，
∴菱形的边长是5．

一十七．矩形的判定与性质（共1小题）
21．（2021•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC＝120°，AB＝6，求矩形OBEC的周长．

【解答】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，
∴OB＝EC，OC＝EB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝6，∠DBC＝∠ABC＝60°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝30°，
∴OB＝BC＝3，
∴OC＝＝＝3，
∴矩形OBEC的周长＝2（3+3）＝6+6．
一十八．正方形的性质（共1小题）
22．（2020•西宁）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
23．（2021•西宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．

【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BC∥DF，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB＝90°，
即∠ADF＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC＝12，AF＝15，
∴BF＝AF﹣AB＝3，
∵∠F＝∠F，∠FBD＝∠FDA＝90°，
∴△FBD∽△FDA，
∴BF：DF＝DF：AF，
∴DF2＝BF×AF＝3×15＝45，
∴DF＝＝3．
二十．圆的综合题（共1小题）
24．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．

【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝90°．
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC＝∠OEA＝90°．
又∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE＝，OE＝2，
∴OA＝＝＝3，
∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．
∵∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AC＝，
∴CE＝AC﹣AE＝﹣＝．
又∵四边形EMFC是矩形，
∴FM＝CE＝．

二十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2020•西宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AF⊥BC．
∵在△ABC中 AB＝AC∴CE＝BE（等腰三角形三线合一），
∵AE＝EF．
∴四边形ABFC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
又∵AF⊥BC，
∴▱ABFC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

（2）解：∵圆内接四边形ABED，
∴∠ADE+∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补）．
∵∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE．
∵∠ACB＝∠ECD（公共角）．
∴△ECD∽△ACB（两角分别对应相等的两个三角形相似）．
∴（相似三角形的对应边成比例）．
∵四边形ABFC是菱形，
∴．
∴2CE＝BC＝4．
∴．
∴AC＝8．
∴AB＝AC＝8．
∴⊙O的半径为4．

二十二．解直角三角形的应用（共1小题）
26．（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？

【解答】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
设CD＝x，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴，即，
∴，
在Rt△BDC中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝x，
∵AB＝AD+BD．
∴，
∴，
∴，
∴CD＝91（米）．
（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AC＝182，
∵LED节能灯带每米造价为800元，
∴800×182＝145600（元），
答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．
二十三．列表法与树状图法（共3小题）
27．（2022•西宁）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是 　抽样调查　（填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．

【解答】解：（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，分别为AA、AB、AC、AD、BA、BB、BC、BD、CA、CB、CC、CD、DA、DB、DC、DD，
其中甲，乙两名同学获得同一种绣品的结果有4种，
∴甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率为＝．
28．（2021•西宁）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98
88
90
72
100
78
95
92
100
99
84
92
75
100
85
90
93
93
70
92
78
89
91
83
93
98
88
85
90
100
（1）本次抽样调查的样本容量是 　30　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是 　0.6　；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是30，样本数据中成绩为“优秀”的频率是18÷30＝0.6，
故答案为：30，0.6；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，
∴抽到的两位同学都在九年级的概率为＝，
所有等可能结果为：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）．
29．（2020•西宁）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）参与问卷调查的总人数是　500人　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人），
即参与问卷调查的总人数为500人，
故答案为：500人；
（2）500×15%﹣15＝60（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）根据题意，列表如下：

共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种，
∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为＝．