广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期12月调研数学试卷（word解析版）

这是一份广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期12月调研数学试卷（word解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

广东省广州市白云区2021-2022学年九年级上学期调研数学试卷（12月份）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三边的距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．过三点可以作一个圆
D．平分弦的直径垂直于这条弦
4．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
5．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
6．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
8．关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
10．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）.
11．边长为2cm的正六边形，它的内切圆半径是 　 　cm．
12．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a＝　 　．
13．如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则底面圆的半径是 　 　cm．

14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是　 　．

15．如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝14．当∠APC＝90°，则BP的长度＝　 　．

16．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上一点（不与A、B重合），点F是上一点，连接OE、OF，分别与AB、BC相交于点G、H，∠EOF＝90°，下列结论：①；②四边OGBH的面积随点E的位置变化而变化；③若BG＝1﹣，则∠BOG＝15°；④△BHG周长的最小值为2+．其中正确的是 　 　（把所有正确结论的序号都填上）．

三、解答题（本题有9个大题，共72分）.
17．（4分）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
18．（4分）如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．

19．（6分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根．
（2）若该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，求m的值．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上，求抛物线的解析式．
22．（10分）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AF＝10，求BD的长．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝kx﹣4与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与y轴分别交于点C．
（1）求k的值；
（2）点D与点O关于AB对称，连接AD，CD．证明：△ACD是直角三角形；
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若S△ECD＝S△OCD，直接写出点E的坐标．

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，﹣1）在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，抛物线的顶点为D，若直线BC分四边形OBDC的面积的比为2：3，求二次函数的解析式；
（3）将该抛物线平移，点A的对应点为A'（1﹣m，2b﹣1），平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），求b，m满足的关系式．

参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，根据直角三角形的外心的特点解答即可．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形是斜边为10的直角三角形，
∴此三角形的外接圆的直径是10，
∴此三角形的外接圆半径是 ＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点是解题的关键．
3．下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三边的距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．过三点可以作一个圆
D．平分弦的直径垂直于这条弦
【分析】根据三角形内心的性质对A进行判断；利用因式分解法解方程可对B进行判断；根据确定圆的条件可对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．
【解答】解：A．三角形的内心到三边的距离相等，所以A选项符合题意；
B．方程x2＝14x的解为x1＝14，x2＝0，所以B选项不符合题意；
C．过不共线的三点确定一个圆，所以C选项不符合题意；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【分析】由题意可求⊙P到y轴的距离d为4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．
【解答】解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4
∵d＝4＜r＝5
∴y轴与⊙P相交
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．
5．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
【分析】由k＝2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，
∴y2＜y1＜0，
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为A、B，2盒已过期的牛奶记为C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，
∴至少有一盒过期的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
故选：B．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣3）（x+2）＝p2化为x2﹣x﹣6﹣p2＝0，再根据Δ＝b2﹣4ac＝1+24+4p2＞0可得方程有两个不相等的实数根，由﹣6﹣p2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2﹣x﹣6﹣p2＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+24+4p2＝25+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣6﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【分析】方法一：根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（yA﹣yB）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
方法二：过点A作AE⊥BC于点E，根据面积求出BC，根据勾股定理求出BE，设出A点和B点坐标，在利用反比例函数过A点和B点求出k值即可．
【解答】解：方法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，
∴xB＝，xA＝，即A（，4），B（，2），
∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，
∴BC＝AB＝，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA﹣yB）＝8，
即×（4﹣2）＝8，
整理得＝4，
解得k＝±8，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣8，
方法二：过点A作AE⊥BC于点E，

∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，
∴AE＝4﹣2＝2，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC•AE＝8，
∴BC＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴BE＝＝＝2，
设A点坐标为（a，4），则B点的坐标为（a﹣2，2），
∵反比例函数y＝经过A、B两点，
∴，
解得，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，

由对称性可知：圆心O在AC上．
AC＝＝4．
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥EC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°．
∴△OEC为等腰直角三角形．
∴OC＝OE＝．
∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）.
11．边长为2cm的正六边形，它的内切圆半径是 　　cm．
【分析】利用正多边形的概念计算．
【解答】解：长为2cm的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为2的正三角形的高，
所以正多边形的内切圆的半径等于×2＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
12．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a＝　3　．
【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与x轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键．
13．如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则底面圆的半径是 　2　cm．

【分析】设围成的圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝，解得r＝2，
即围成的圆锥的底面圆的半径为2cm．
故答案为2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是　6　．

【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．
【解答】解：作直径CD，如图，连接BD，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴BD＝BC＝×6＝6，
∴CD＝2BD＝12，
∴OC＝6，
即⊙O的半径是6．
故答案为6．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
15．如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝14．当∠APC＝90°，则BP的长度＝　2或12　．

【分析】证得△ABP∽△PDC，根据相似三角形的性质即可求得结果．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，
∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°，
∴∠A＝∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
∴＝，
∴＝，
解得BP＝2或12；
故答案为：2或12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程，证得三角形相似是解题的关键．
16．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上一点（不与A、B重合），点F是上一点，连接OE、OF，分别与AB、BC相交于点G、H，∠EOF＝90°，下列结论：①；②四边OGBH的面积随点E的位置变化而变化；③若BG＝1﹣，则∠BOG＝15°；④△BHG周长的最小值为2+．其中正确的是 　①③④　（把所有正确结论的序号都填上）．

【分析】连接OC，OB，CF，BE，根据同角的余角相等可知∠BOE＝∠COF，则，可知①正确；利用ASA证明△BOG≌△COH，得S四边形OGBH＝S△BOC＝正方形ABCD＝定值，故②错误；由GM＝，得∠GOM＝30°，又∠BOM＝45°，可知③正确；C△BGH＝BG+BH+GH＝BC+OG＝BC+OG＝2+OG，当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG＝1，则C△GBH的最小值为2+，可知④正确．
【解答】解：如图，连接OC，OB，CF，BE，
∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
在△BOG与△COH中，
，
∴△BOG≌△COH（ASA），
∴S△OBG＝S△OCH，
∴S四边形OGBH＝S△BOC＝正方形ABCD＝定值，
故②错误；
如图，作OM⊥AB于M，

则OM＝BM＝，OB＝OM＝，
∴GM＝，
∴tan∠GOM＝，
∴∠GOM＝30°，
∵∠BOM＝45°，
∴∠BOG＝45°﹣30°＝15°，
故③正确；
∵BG＝CH，
∴C△BGH＝BG+BH+GH＝BC+OG＝BC+OG＝2+OG，
当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG＝1，
∴C△GBH的最小值为2+，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，圆周角定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本题有9个大题，共72分）.
17．（4分）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x（x﹣7）＝8（7﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
（x﹣7）（x+8）＝0，
x1＝7，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是找准公因式．
18．（4分）如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．

【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°．
根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．
∴AB＝BD．
∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．
∴∠BDA＝45°．
∴∠ADC＝30°．
【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（6分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 　　；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲坐在①号座位的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为＝．
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根．
（2）若该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，求m的值．
【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝m+3，x1•x2＝3m，根据勾股定理可知x12+x22＝10，利用完全平方公式得出关于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，
因为不论m为何值，（m﹣3）2≥0，
所以△≥0，
所以无论m取什么实数值，该方程总有两个实数根；

（2）解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝m+3，x1•x2＝3m，
∵该方程的两实根x1和x2是一个矩形两邻边的长且该矩形的对角线长为，
∴x12+x22＝10，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2•x1•x2＝（m+3）2﹣2•3m＝10，
即m2＝1，
解得：m1＝1，m2＝﹣1，
∵矩形的边长不可能是负数，
∴m2＝﹣1不合题意，舍去，
即m的值为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
21．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上，求抛物线的解析式．
【分析】（1）将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式，即可求出a+b的最小值；
（2）由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为P1，P3，即可求出抛物线的解析式．
【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1，
∴y＝ax2+bx+1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4a＝0，即a＝，
∴a+b＝﹣1，
当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；
（2）∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，
∴抛物线上的点为P1，P3，
又∵P1，P3关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax2，
代入点P1得：y＝．
∴抛物线的解析式为y＝．
【点评】本题考查了抛物线与x的交点，二次函数的性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（10分）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为（60﹣x﹣40）元，日销售量为（20+2x）件，利用日销售利润＝每件的销售利润×日销售量，结合日销售利润不变，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该商品打y折销售，根据小明的线下实体商店的销售价格不超过（1）中的售价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件的销售利润为（60﹣x﹣40）元，日销售量为20+10×＝（20+2x）件，
依题意得：（60﹣x﹣40）（20+2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣10x＝0，
解得：x1＝10，x2＝0．
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x＝10．
答：每件降价10元．
（2）设该商品打y折销售，
依题意得：62.5×≤60﹣10，
解得：y≤8．
答：该商品至少需打八折销售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AF＝10，求BD的长．

【分析】（1）连接OC、OF，证明四边形OFBC是平行四边形，则BF∥OC，由得AC＝BC，则OC⊥AB，∠ABF＝∠BOC＝90°，可证明BF是⊙O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB＝∠ACB＝90°，则∠CAB＝∠CBA＝45°，可证明FB＝OB＝OA＝AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再证明∠BAD∽∠FAB，根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC、OF，
∵EF＝CE，OE＝BE，
∴四边形OFBC是平行四边形，
∴BF∥OC，
∵，
∴AC＝BC，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠ABF＝∠BOC＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠BFO＝∠OCB＝45°，
∵OF∥BC，
∴∠BOF＝∠OBC＝45°，
∴∠BFO＝∠BOF，
∴FB＝OB＝OA＝AB，
∵FB2+AB2＝AF2，且AF＝10，
∴（AB）2+AB2＝102，
∴AB＝4，
∴FB＝AB＝2，
∵∠ADB＝∠ABF＝90°，∠BAD＝∠FAB，
∴∠BAD∽∠FAB，
∴＝＝＝，
∴BD＝FB＝×2＝4，
∴BD的长为4．

【点评】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝kx﹣4与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与y轴分别交于点C．
（1）求k的值；
（2）点D与点O关于AB对称，连接AD，CD．证明：△ACD是直角三角形；
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若S△ECD＝S△OCD，直接写出点E的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点D与点O关于AB对称，得到D（4，0），再证明AD2+CD2＝AC2，即可求解；
（3）分点E在CD上方、点E在CD下方两种情况，利用同底等高三角形面积相等，即可求解．
【解答】（1）解：令AB＝BO＝m，
∵∠ABO＝90°，
∴AB⊥x轴，则设点A的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴＝m，
解得m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∵点A（2，2）在直线y＝kx﹣4上，
∴2＝2k﹣4，
∴k＝3；

（2）证明：由（1）可知B（2，0），AB＝2，
∵AB⊥BO，点D与点O关于AB对称，
∴D（4，0），BD＝2，
∴AD2＝AB2+BD2＝22+22＝8，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，则点E（0，2），AE＝2，
∵直线y＝3x﹣4与y轴交于点C，
∴C（0，﹣4）则CE＝6，
∴AC2＝AE2+CE2＝22+62＝40，
∵∠OCD＝90°，OD＝4，OC＝4，
∴CD2＝OD2+OC2＝42+42＝32，
∵8+32＝40，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；

（3）解：①当点E在CD上方时，如下图，

过点O、A作直线m，
由点O、A的坐标知，直线OA的表达式为y＝x，
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为y＝x﹣4，
则直线CD∥m，即OA∥CD，
∵S△ECD＝S△OCD，即两个三角形同底，
则点E与点A重合，
故点E的坐标为（2，2）；
②当点E（E′）在CD下方时，
在y轴负半轴取CH＝OC＝4，则点H（0，﹣8），
∵则S△ECD＝S△OCD，
∴过点H作直线m′∥CD，则直线m′与反比例函数的交点即为点E，
∴直线m′的表达式为y＝x﹣8，
联立y＝x﹣8和y＝并解得（不合题意值已舍去），
故点E的坐标为（4+2，2﹣4），
综上，点E的坐标为（4+2，2﹣4）或（2，2）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，﹣1）在抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）上．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，抛物线的顶点为D，若直线BC分四边形OBDC的面积的比为2：3，求二次函数的解析式；
（3）将该抛物线平移，点A的对应点为A'（1﹣m，2b﹣1），平移后的抛物线仍经过（1，﹣1），求b，m满足的关系式．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，可得结论．
（2）首先证明c＜﹣2，推出点B在y轴的负半轴上，由直线BC分四边形OBDC的面积的比为2：3，推出CE＝2DE，推出顶点D的纵坐标为c，由此构建方程求出c，b即可．
（3）因为平移后A（1，﹣1）的对应点为A′（1﹣m，2b﹣1）可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．利用待定系数法求出m＝﹣b．
【解答】解：（1）把A（1，﹣1）代入y＝x2+bx+c得到，﹣1＝1+b+c，
∴b+c＝﹣2；

（2）如图，过点B作BE⊥CD于E．

∵b＝﹣2﹣c＞0，
∴c＜﹣2，
∴点B在y轴的负半轴上，
∵直线BC分四边形OBDC的面积的比为2：3，
∴CE＝2DE，
∴顶点D的纵坐标为c，
∴c＝，
∴b2＝﹣2c，
∵b＝﹣2﹣c，
∴4+4c+c2＝﹣2c，
∴c2+6c+4＝0，
∴c＝＝﹣3±，
∵c＜﹣2，
∴c＝﹣3﹣，
∴b＝1+，
∴抛物线的解析式为y＝x2+（1+）x﹣3﹣；

（3）由平移前的抛物线y＝x2+bx+c，可得
y＝（x+）2﹣+c，即y＝（x+）2﹣﹣2﹣b．
因为平移后A（1，﹣1）的对应点为A′（1﹣m，2b﹣1）．
可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为y＝（x++m）2﹣﹣2﹣b+2b，
即y＝（x++m）2﹣﹣2+b．
把（1，﹣1）代入，得（1++m）2﹣﹣2+b＝﹣1．
（1++m）2＝﹣b+1．
（1++m）2＝（﹣1）2，
所以1++m＝±（﹣1）．
当1++m＝﹣1时，m＝﹣2（不合题意，舍去）；
当1++m＝﹣（﹣1）时，m＝﹣b．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．