数学人教版第二十二章 二次函数综合与测试学案

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第二十二章 二次函数的图象和性质
知识点思维导图







知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、和常数项.
注意：确定二次函数的“三要素”
（1） 含有自变量的代数式必须是整式；
（2） 化简后自变量的最高次数是2；
（3） 二次项系数不等于0.
示例： 二次项系数是1
y＝x2－x－4 常数项是－4
一次项系数是－1
任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的形式. 因此，把y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般形式. 二次函数也有特殊形式：
1. 只含二次项，即y＝ax2（a≠0，b＝0，c＝0）；
2. 不含一次项，即y＝ax2＋c（a≠0，c≠0，b＝0）；
3. 不含常数项，即y＝ax2＋bx（a≠0，b≠0，c＝0）
【例1】下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A.
B. y＝3x2－(3x2＋2x－1)
C. y＝－x2＋2x
D. y＝ax2＋bx＋c
【例1】【解析】判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简整理，再分三个步骤来判断：（1）看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数；（2）当它的等号两边都是整式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二次式，那就可能是二次函数，否则就不是；（3）看它的二次项系数是否为0，如果不为0，那就是二次函数.
选项A：中，等号的右边不是整式，所以A错误；
选项B：y＝3x2－(3x2＋2x－1)化简后是y＝－2x＋1，不含有自变量的二次式，所以B错误；选项D：y＝ax2＋bx＋c，二次项系数有可能为0，所以D错误；
选项C：y＝－x2＋2x，等号两边都是整式，含有自变量的二次式，且二次项系数不是0，所以是二次函数，故选C.
【答案】C
【巩固】
1. 函数是二次函数，则m的值为（ ）
A. －2 B. 0 C. －2或1 D. 1
2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A. a＝1，b＝－3，c＝5
B. a＝1，b＝3，c＝5
C. a＝5，b＝3，c＝1
D. a＝5，b＝－3，c＝1
【巩固答案】
1. D
2. D

知识点二：二次函数y＝ax2的图象和性质
1. 抛物线
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c.
抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.
2. 用描点法画函数y＝ax2（a≠0）的图象的一般步骤
（1） 列表
列表时，自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单，描点方便为原则.
对于画函数y＝ax2（a≠0）的图象时，一般先取原点（0，0），然后在y轴两侧各取2个或3个点，注意对称取点.
（2） 描点
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图象就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5个点，用“五点法”快速准确地作出函数图象，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
在平面直角坐标系内，画函数y＝ax2（a≠0）的图象时，以自变量x的值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出y轴另一侧的几个点.
（3） 连线
按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸.
3. 二次函数y＝ax2的图象和性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象与性质

y＝ax2
a＞0
a＜0
图象






开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
（0，0）
对称轴
y轴（或x＝0）
增减性
在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0时，y随x的增大而增大
在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0时，y随x的增大而减小
最值
当x＝0时，y最小值＝0
当x＝0时，y最大值＝0

注意：
1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小.
2. 在二次函数y＝ax2（a≠0）中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线的开口越小，反之，|a|越小，抛物线的开口越大. |a|相等说明抛物线的开口大小相同.
3. 二次函数y＝－ax2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）的图象关于x轴对称.

【例2】在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数y＝4x2，，y＝－4x2与的图象并回答下列问题：
x
…
－1
0
1
…
y＝4x2
…



…

…



…
y＝－4x2
…



…

…



…




（1） 抛物线y＝4x2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；抛物线y＝－4x2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；抛物线y＝4x2与y＝－4x2的图象关于 轴对称.
（2） 若点（－5，y1）和点（－3，y2）在抛物线y＝4x2上，则y1与y2的大小关系是 ；
若点（－5，y1）和点（－3，y2）在抛物线y＝－4x2上，则y1与y2的大小关系是 .
（3） 抛物线，当x 0时，抛物线上的点都在x轴上方，当x 0时，抛物线从左向右逐渐上升，它的顶点是最 点；抛物线，当x 0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最 点.
【例2】【解析】按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象，再根据函数图象即可得出每个函数图象的性质.
【答案】
解：列表如下：
x
…
－1
0
1
…
y＝4x2
…
4
0
4
…

…

0

…
y＝－4x2
…
－4
0
－4
…

…

0

…
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点.
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：

（1） 向上 y轴 （0，0）； 向下 y轴 （0，0）； x .
（2） y1＞y2 ； y1＜y2 .
（3） ≠ ＞ 低； ＞ 高.

【巩固】
1. 函数是二次函数，则下列关于它的图象说法：①开口向上；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为（0，0）；⑤顶点坐标为（0，－4）；⑥顶点坐标为（－4，0）；⑦有最高点；⑧有最低点. 其中正确的有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. 如图所示的四个二次函数图象分别对应①y＝ax2，②y＝bx2，③y＝cx2，④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为 . （用“＞”连接）




3. 已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（－2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
【巩固答案】
1. B
2. a＞b＞d＞c
3. C

知识点三：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1. 二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象形状相同，只是位置不同. 抛物线y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象沿y轴上（下）平移|k|个单位长度得到.
（1） 当k＞0时：


（2） 当k＜0时：


2. 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
y＝ax2＋k（a≠0）
a＞0
a＜0
图象




k＞0 k＜0






k＞0 k＜0
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
（0，k）
对称轴
y轴（或x＝0）
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝0时，y最小值＝k
当x＝0时，y最大值＝k
【例3】已知抛物线y＝2x2－3.
（1） 它的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（2） 把抛物线y＝2x2 可得抛物线y＝2x2－3；
（3） 若点（－4，y1），（－1，y2）在抛物线y＝2x2－3上，则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
【例3】【解析】（1）在y＝2x2－3中，a＝2＞0，k＝－3，所以该抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，－3）.
（2）y＝2x2－3的图象与y＝2x2的图象的形状、开口方向都相同，只是位置不同，抛物线y＝2x2－3是由抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度得到的.
（3）点（－4，y1），（－1，y2）都在y轴左侧，y随x的增大而减小，由－4＜－1，可知y1＞y2.
【答案】
（1） 上 y轴 （0，－3）；
（2） 向下平移3个单位长度；
（3） ＞.

【巩固】
1. 在同一坐标系中，作y＝3x2＋2，y＝－3x2－1，的图象，则它们（ ）
A. 都关于y轴对称
B. 顶点都在原点
C. 都开口向上
D. 以上都不对
2. 将抛物线y＝x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. y＝x2＋2 B. y＝x2－2 C. y＝(x－2)2 D. y＝(x＋2)2
3. 二次函数y＝ax2＋c（a≠0）中，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，它们对应的函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为（ ）
A. a＋c B. a－c C. －c D. c
【巩固答案】
1. A
2. B
3. D

知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1. 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2图象间的关系
二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，只是位置不同. 抛物线y＝a(x－h)2可由抛物线y＝ax2沿x轴向右（左）平移|h|个单位长度得到.
（1） 当h＞0时：


（2） 当h＜0时：


2. 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
y＝a(x－h)2（a≠0）
a＞0
a＜0
图象




h＞0 h＜0




h＞0 h＜0
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
（h，0）
对称轴
直线x＝h
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝h时，y最小值＝0
当x＝h时，y最大值＝0
【例4】已知二次函数.
（1） 画出函数图象，确定抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴.
（2） 当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？






【例4】【解析】（1）按照列表、描点、连线的步骤画出图象，再根据函数图象确定抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴即可.
（2）由（1）所作图象观察图象可知：对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小.
【答案】
解：（1）先列表：
x
…
－2
0
2
4
6
…

…
－8
－2
0
－2
－8
…
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点.
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：

由函数图象知：抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝2；
（2）当x＜2时，y随x的增大而增大；
当x＞2时，y随x的增大而减小.

【巩固】
1. 关于x的函数y＝－2(x－3)2与y＝2(x－3)2的性质中，下列说法错误的是（ ）
A. 开口方向相同
B. 对称轴相同
C. 顶点坐标相同
D. 当x＜3时，y＝2(x－3)2随x的增大而减小；y＝－2(x－3)2随x的增大而增大
2. 抛物线y＝x2＋1经过平移得到抛物线y＝(x＋1)2，平移的方法是（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【巩固答案】
1. A
2. A

知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1. 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2图象间的关系
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，可由二次函数y＝ax2的图象向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到.
由二次函数y＝ax2的图象得到y＝a(x－h)2＋k的图象的具体平移过程如下：
y＝ax2＋k
y＝ax2
向右(h＞0)或向左(h＜0)平移|h|个单位长度
y＝a(x－h)2
向上(k＞0)或向下(k＜0)
平移|k|个单位长度
向上(k＞0)或向下(k＜0)
平移|k|个单位长度
y＝a(x－h)2＋k
向右(h＞0)或向左(h＜0)平移|h|个单位长度
向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度
向右(h＞0)或向左(h＜0)平移|h|个单位长度








注意：抛物线y＝a(x－h)2＋k左、右平移时，只有常数h发生变化；上、下平移时，只有常数k发生变化.
活学巧记：函数平移规律，左加右减自变量，上加下减常数项.
2. 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
函数
y＝a(x－h)2＋k（a＞0）
y＝a(x－h)2＋k（a＜0）
图象



h＞0，k＞0 h＜0，k＞0



h＜0，k＜0 h＞0，k＜0




h＞0，k＞0 h＜0，k＞0





h＜0，k＜0 h＞0，k＜0
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
（h，k）
对称轴
直线x＝h
增减性
在对称轴左侧，即当x＜h时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即当x＞h时，y随x的增大而增大.
在对称轴左侧，即当x＜h时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞h时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝h时，y最小值＝k
当x＝h时，y最大值＝k
拓展：从y＝a(x－h)2＋k（a≠0）中可以直接看出抛物线的顶点坐标是（h，k），所以通常把它称为二次函数的顶点式.
【例5】在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是（ ）
A. y的最小值为1
B. 图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C. 当x＜2时，y的值随x的值增大而增大，当x≥2时，y的值随x的值增大而减小
D. 它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【例5】【解析】对于二次函数y＝(x－2)2＋1，∵a＝1＞0，∴二次函数开口向上，∵h＝2，k＝1，∴顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2，函数y有最小值为1，所以A、B选项正确；当x＜2时，y的值随x的值增大而减小，当x＞2时，y的值随x的值增大而增大，所以C选项错误；由平移规律左加右减，上加下减知D选项正确，故选C.
【答案】C

【巩固】
1. 设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝3(x＋1)2＋4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .
2. 在平面直角坐标系上，将二次函数y＝2(x－1)2－2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则其顶点为（ ）
A. （0，0） B. （1，－2） C. （0，－1） D. （－2，1）

【巩固答案】
1. y1＜y2＜y3
2. C