华师大版九年级上册23.5 位似图形学案

教学目标

1.理解位似图形、位似中心的概念，理解位似变换是特殊的相似变换.

2.会画位似图形，能根据相似比的大小把一个图形放大或缩小.

3.理解位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

教学重难点

重点：理解位似图形、位似中心的概念.

难点：位似多边形的判断，从位似中心的不同方向绘制位似多边形.

教学过程

复习巩固

1.什么叫相似多边形呢？

两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.

2. 什么叫相似比？

相似多边形对应边的比叫做相似比.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

【思考】

1.前面我们已经学习了图形的哪些变换？

平移：平移的方向，平移的距离.

轴对称：对称轴.

旋转：（中心对称）旋转中心，旋转方向，旋转角度.

2.下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？

（1）

（2）

教师：这就是本节要学习的内容.

教师引出课题： 23.5　位似图形

探究新知

探究点一　位似图形

【问题2】

活动2（学生交流，教师点评）

如图，下面两个多边形相似，将两个图形的对应顶点相连，观察发现连结的直线相交于点O.

有什么关系？

【答案】

【总结】

即两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.

探究点二　位似图形的性质

活动3（学生交流，教师点评）

从图（1）中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，

则，AB∥A′B′.

图（2）呢？你得到了什么？

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　（2）　　　

【总结】

位似图形的性质：

（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

（2）位似图形上对应点的连线或延长线交于一点.

（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.

（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质.

典例讲解（师生互动）

例1　如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比，四边形A′ B′ C′D′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比 ＝ 1. 则四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比.

【解】∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，

∴ 四边形ABCD ∽四边形A′ B′ C′ D′ .

∵ 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似，

∴ 四边形A′ B′ C′ D′∽四边形A″ B″ C″ D″ .

∴ 四边形A″ B″ C″ D″∽四边形ABCD.

又∵ 四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线经过同一点O，

∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形.

∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比 ＝ 2，

四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似，相似比 ＝ 1，

∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 的相似比为.

探究点三　位似图形的画法

【问题3】

活动4（学生交流，教师点评）

例2　如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.

【解】作法：画射线OA、OB、OC；

在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F，使OD ＝ 2OA，OE＝2OB，OF＝ 2OC；

顺次连结D、E、F，这样就得到与△ABC位似，相似比为2的△DEF.

想一想：你还有其他的画法吗？

思考：如果点 O在两个三角形之间呢？能不能画出这时的图形?

作法：画射线OA、OB、OC;

沿着射线OA、OB、OC反方向上分别取点D、E、F，OD ＝ 2OA，OE ＝ 2OB，OF ＝ 2OC;

顺次连结D、E、F，这样就得到与△ABC位似，相似比为2的△DEF.

【归纳】画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心；

（2）分别连结位似中心和能代表原图的关键点并延长；

（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；

（4）按照原图的形状，顺次连结上述各点，得到放大或缩小后的图形.

【即学即练】

如图，已知四边形ABCD，把四边形ABCD 缩小到原来的.（画出一种情形）

【解】作法：（1） 在四边形ABCD外任选一点O（如图）；

（2） 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使得＝ ＝＝＝；

（3）顺次连结点 A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′就是所要画的图形.

【题后总结】

利用位似，可以将一个图形放大或缩小.

课堂练习

1.下列关于位似图形的表述错误的是（    ）

A.相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形

B.位似图形一定有位似中心

C.如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形

D.位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于相似比

2.如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（    ）

A.点P　　　　B.点O　　　　　C.点M　　　　D.点N

3.如图所示，将平行四边形AEFG变换成平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是（    ）

A.这种变换是相似变换　　　　B.对应边扩大到原来的2倍

C.各对应角度数不变　　　　　D.面积扩大到原来的2倍

4.下列4个图中的两个相似三角形是位似三角形的是（    ）

（1）　　　　　　　（2）

（3）　　　　　　　（4）

A.图（3）、图（4）

B.图（2）、图（3）、图（4）

C.图（2）、图（3）

D.图（1）、图（2）

5.如图所示，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（     ）

A.（3，3）　　　　　　　　    B.（4，3）

C.（3，1）　　 　　　　　　 　D.（4，1）

6.如图，△ABC和△是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则 的长为（    ）

A.1　　　　　　　　　　　　　　B.2

C.4　　　　　　　　　　　　　  D.8

7.如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过相似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，求五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比.

8. 已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形.

参考答案

1.A　【解析】相似图形不一定是位似图形.

2.A　【解析】利用位似图形的概念找出每组对应点所在直线的交点，显然交点为点P.

3.D　【解析】面积比等于相似比的平方，所以面积应扩大到原来的4倍.

4.B　 【解析】利用“每组对应点的连线所在的直线都经过同一点（位似中心）”检验.

5.A　【解析】分别过点A，C作两坐标轴的垂线，利用相似三角形的性质可求解.

6.B　【解析】∵ C1为OC的中点，

∴ OC.

∵ △ABC和△是以点O为位似中心的位似三角形，

∴ A1B1∥AB，＝，

∴ △OA1B1∽△ OAB，＝，

∴ ，

∴＝2，故选B.

7.【解】∵ 五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过相似变换得到的，

∴ 五边形ABCDE∽五边形FGHMN.

∵ F为OA的中点，

∴ OF＝AO，

∴ OA∶OF＝2∶1，

∴ 五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比为4∶1.

8.【解】如图，画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点G、H、E、F，使OE＝2OA ，OF ＝2OB，OG ＝2OC，OH ＝2OD;顺次连结E、F、G、H，与便到与正方形ABCD位似，位似比为1∶2的正方形EFGH.

课堂小结

 （学生总结，老师点评）

布置作业

教材第81页练习题，第82页习题23.5第1，2题.

板书设计

课题　23.5　位似图形

【问题1】　　　　　　　　　　　　　探究点一

位似图形的定义

【问题2】　　　　　　　　　　　　　例1　

位似图形的性质　　　　　　

【问题3】　　　　　　　　　　　　　例2

位似图形的画法　

教学反思

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