精品解析：辽宁省协作校2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试题

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A，再求并集即可.

【详解】，故.

故选：C.

【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.

2. 已知，，若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先由，可得，进而代入点的坐标进行计算即可.

【详解】解：，.

.

.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量坐标运算，考查运算能力，属于基础题.

3. 如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：为将复数所对应的点逆时针旋转得，选B.

考点：复数几何意义

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为

4. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为

A. 27 B. 26 C. 25 D. 24

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为，所以在与之间还有，故选A.

考点：随机抽样.

5. 已知，则条件“”是条件“”的条件.

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】先判断充分性：若，又，当时，不成立，故充分性不成立；

再判断必要性：若，又，所以，可得，故必要性成立，

所以条件“”是条件“”的必要不充分条件条件.

故选：B.

【点睛】本题主要充分条件和必要条件的判定，同时考查不等式的性质，属于基础题.

6. 设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D；

【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故选项A不正确；

对于选项B：若，，则或，故选项B不正确；

对于选项C：若，，则或或与相交，故选项C不正确；

对于选项D：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；

故选：D

7. 某个家庭有三个孩子，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用独立重复实验分有女孩和女孩可求出结果.

【详解】解：因为每次生女孩的概率是，所以家庭有三个孩子相当于次独立重复事件，

故该家庭至少有两个孩子是女孩的概率.

故选：D.

【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，属于基础题.

8. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称轴可能为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数图象的顶点坐标求出，由周期求出，再结合图象求出的值，可得的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.

【详解】解：由函数（，，）的部分图象，

可得，，.

再结合图象可得，求得.

.

则函数.

令，求得，，

当时，.

故函数的一条对称轴为.

故选：D.

【点睛】本题考查函数的部分图象求解析式，考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.

9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据函数的奇偶性的判断得，函数是奇函数，故排除A选项和C选项，再由当时，，，可排除D选项，可得选项.

【详解】因为，所以，所以函数是奇函数，故排除A选项和C选项，

在时，当，，所以，而当时，，

所以在时，当，，所以排除D选项，

所以只有B选项符合条件.

故选：B.

【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.

10. 已知数列满足.则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用累加法求出，再利用裂项相消法求和即可；

【详解】解：因为，

所以，，，……，

所以

所以

所以

故选：B

【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.

11. 在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率．

【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.

因为△PME∽△PQB，所以，

因为△PBF∽△EBO，所以，从而有，

又因为M是线段PF的中点，所以.

本题选择C选项.

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

12. 已知函数，定义域为，且对，，当时都有恒成立，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】不妨设，题目可转化为，令

，则，可得在上为减函数，对，，都有恒成立，对，，都有恒成立，只需

即可得出结果.

【详解】解：不妨设，对，，当时都有恒成立，

等价于，即.

令，则，可得在上为减函数.

所以对，，都有恒成立，

即对，，都有恒成立，

令，，

.

所以函数在上单调递增，所以.

所以.即.

故选：A.

【点睛】本题考查不等式恒成立，导数的综合应用，属于中档题.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】令对数的真数等于1，求得、的值，即为定点的坐标，再代入函数的解析式即可求出的值．

【详解】解：令得：，此时，

函数且的图象恒过定点，即，

又点在函数的图象上，

，

，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．

14. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.

【详解】设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，

设等差数列的公差为，前项和为，则，，，

则，解得，，解得，

因此，每天比前一天少织布的尺数为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15. 已知双曲线（）的两条渐近线与圆交于，，，四点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】设点的坐标为，联立圆与渐近线的方程求解，，再根据双曲线的对称性及四边形的面积求出，即可得出结论.

【详解】解：设，在第一象限，联立，解得.

（其中），可知四边形为矩形，且根据双曲线的对称性，

可知.即，

解得或（舍去）.

故双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线的性质及渐近线方程，属于中档题.

16. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则球O的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球的表面积．

【详解】解：如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，取的中点，连接并延长，交于，连接，则，又，，平面，平面，可得平面，则，

，分别是，的中点，，

又，所以，即，，平面，平面，所以平面，

正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径，，

所以，则球的表面积为．

故答案为：．

【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．

三、解答题

17. 已知的内角所对的边分别为，且.

（1）求角的值.

（2）若面积为，且，求及的值.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换与三角形的内角和公式，即可求得的值；

（2）由三角形的面积公式和余弦、正弦定理，即可求得与的值．

【详解】解：（1）中，，

所以，

所以

因为，所以

因为，所以

（2）由面积为，解得；

又，

所以，；

由余弦定理得，，

所以；

由正弦定理得，，

解得．

【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形应用问题，属于中档题．

18. 数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.

某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：

（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；

（2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；

（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.

【答案】（1见解析；（2），，；（3）见解析.

【解析】

【分析】（1）根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数，将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图，进而画出散点图．

（2）利用平均数公式，方差公式即可求解．

（3）由（2）可知，，且，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，可知选择乙比较好．

【详解】解：（1）茎叶图如图

散点图如图：

（2），，

（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，，且，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好.

【点睛】本题考查了茎叶图，平均数，方差，考查了学生计算能力和数形结合思想，属于基础题．

19. 已知矩形，，E、F分别为、中点，点M、N分别为的三等分点，将沿折起，连接、、、、、、.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知证明，，再由平面与平面平行的判定可得平面平面；

（2）由题意可知，，，证明平面，得到，，再证明平面，然后由可求三棱锥的体积．

【详解】解：（1）证明：因为点M、N分别为的三等分点，所以，

又因E为中点，所以，

所以在中，，同理可证，

又因为，，平面，，，平面，

所以平面平面；

（2）由题意可知，，，，平面，平面，所以平面，

又、平面，所以，，

因为，平面，平面，，

所以平面，

所以，

在中，，，

所以.

【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题．

20. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若，证明函数有且仅有两个零点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系先分析函数的单调性，再结合函数的性质及零点判定定理即可证明．

【详解】解：（1）因为，所以函数的定义域为且，，

所以切点为

切线方程为

即

（2）当时，

，令，则，

 在定义域上单调递增

，，

使

时，，单调递减，时，，单调递增

所以

又在递减，

∴在上有且只有一个零点

又

所以在上有且只有一个零点

综上，函数有且仅有两个零点

【点睛】本题综合考查了利用导数及函数的性质求解曲线的切线方程及函数零点的判定，属于中档题．

21. 已知点是抛物线：的准线与轴的交点，点是抛物线上的动点，点、在轴上，的内切圆为圆：，且，其中为坐标原点.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求面积的最小值.

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

【分析】（1）由，求出，可得抛物线的标准方程；

（2）设，写出直线的方程，根据圆与直线相切，得到的关系，写出的面积，结合基本不等式，即可得到最小值.

【详解】（1）点是抛物线：的准线与轴的交点，

，又，

.

抛物线的标准方程为.

（2）设，则，

直线的方程为，直线的方程为.

的内切圆为圆：，

，

整理得.

是方程的两根，

.

，

.

,

.

所以的面积.

令，

，当且仅当时，等号成立，此时.

所以面积的最小值为8.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题，考查基本不等式和学生的运算化简的能力，属于较难的题目.

请考生在22—23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写（涂）清题号．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.

（1）求和的普通方程；

（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果．

【详解】（1）由题意可得，

故的参数方程为（为参数），

圆的参数方程为（为参数），

消去参数，得的普通方程为，

消去参数，得的普通方程为.

（2）的方程为，即，

因为圆上只有一个点到的距离为1，圆的半径为1，

所以到的距离为2，

即，解得（舍去）.

【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

选修4-5：不等式选讲

23. 设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）把代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；

（2）利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后求解关于的不等式即可.

【详解】（1）当时，，

当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式解集为．

（2），

．

当或时，不等式显然成立；

当时，，则．

故的取值范围为．

【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.