2021学年22.3 实际问题与二次函数第2课时学案设计

第二十二章  二次函数

22.3  实际问题与二次函数

第2课时 商品利润最大问题

学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

自主学习

一、知识链接

1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.

(1) y=－x2－4x+5；   (2) y=x2－3x+4.

2.说说利润问题中利润、售价、销量之间的数量关系.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题

问题  某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期的销售额是     元，销售利润是     元.

典例精析

例1  某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每件每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

◆涨价销售

①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：

②自变量x的取值范围如何确定？

③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

◆降价销售

①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：

②自变量x的取值范围如何确定？

③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．

(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；

(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？

知识要点：求解最大利润问题的一般步骤.

(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；

(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；

(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

练一练

某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

例2  某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.

(1) 当售价在40～50元/件时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？

(2) 当售价在50～70元/件时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？

(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？

变式1 若该商品售价在40～70元/件之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x元/件的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？

变式2 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；

变式3  在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元/件时，利润最大，最大利润是多少元？

三、课堂小结

当堂检测

1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20 ≤x ≤30)出售，可卖出(600－20x)件，使利润最大，则每件售价应定为     元.

2.进价为80元/件的某衬衣定价100元/件时，每月可卖出2000件，每件价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元/件)之间的函数关系式为              ，每月利润w(元)与衬衣售价x(元/件)之间的函数关系式为               .(以上关系式只列式不化简）

3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？

4. 某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图.

(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

参考答案

自主学习

知识链接

1.   解：（1）开口向下，对称轴为直线x=-2顶点坐标为（-2,9），最大值为9.

（2）开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为，最小值为

2.（1）销售额=售价×销售量；

（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；

（3）单件利润=售价-进价.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题

问题   18000   6000

典例精析

例1  ◆涨价销售

①填表如下：

所得利润 y=(20+x)(300-10x)，即 y = -10x2+100x+6000.

②营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.

③y=-10x2+100x+6000.当x=时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时，最大利润是6250元.

◆降价销售

①填表如下：

建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.

②营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.

③ 即y=-20x2+100x+6000.当x=时，

即降价2.5元时，最大利润是6125元.综上可知，定价 65 元时，最大利润是 6250 元.

变式  解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000；

(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，∴75≤x≤90.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．

练一练

解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.易知0≤x ≤18，则当x=4时，即涨价4元时，y取最大值1960元.

答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.

例2  解：（1）由题意得：当40≤x≤50时，Q = 60(x－30)= 60x－1800，∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大，∴当x最大= 50时，Q最大= 1200.

答：此时每月的总利润最多是1200元.

（2）当50＜x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).

解得∴y =－2x +160（50＜x≤70）.

.∴Q=(x－30)y  =(x－30)(－2x + 160)=－2x2 + 220x－ 4800=－2(x－55)2 +1250 (50＜x≤70) ，∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.

（3）∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218， 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间.∴令－2(x－55)2 +1250=1218，解得x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件)，当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件).

∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.

变式 1 解：Q与x的函数关系式为：

由例2可知：若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200；若50＜x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250；∵1200＜1250，∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.

变式2 解：Q与x的函数解析式为：

①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218，∴此情况不存在. ②当50＜x≤70时，Q最大= 1250>1218，令Q = 1218，得 －2(x－55)2 +1250=1218解得：x1=51，x2=59.由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.

变式3  解：由题意得： 解得：51≤x≤53.又∵a =－2＜0，

∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大∴当x= 53时，Q最大= 1242.

∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.

当堂检测

1.25   2.y=2000-5(x-100)   w=[2000-5(x-100)](x-80)

3.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]

 =(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352. 因为 x ≤ 9，故当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.

答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.

4.解：（1）由题中条件可求y=-x2+20x-75.∵-1<0,，对称轴x=10，∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.

（2）由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.