初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试课后测评

这是一份初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试课后测评，共11页。试卷主要包含了 一元二次方程的解等内容，欢迎下载使用。
   一元二次方程（一）知识点思维导图知识点一：一元二次方程的相关概念一元二次方程    等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2. 2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）. 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 3. 一元二次方程的解（根）（1）一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. （2）判断一个数是不是一元二次方程的解的方法（代入检验法）将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解. 【例1】下列式子：①2x2＋x－3；②；③t2－m＝1－4t－m；④(y－1)2＝y2＋2；⑤y2－2y＋1＝0；⑥x2＋y－6＝0. 其中一定是一元二次方程的有             .（把所有正确选项的序号都填上）【例1】【解析】①2x2＋x－3不是等式，故不是一元二次方程；②x2＋2x－＝0不是整式方程，故不是一元二次方程；③t2－m＝1－4t－m是整式方程，可整理为t2＋4t－1＝0，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程；④(y－1)2＝y2＋2可整理为2y＋1＝0，故不是一元二次方程；⑤y2－2y＋1＝0符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程；⑥x2＋y－6＝0含有两个未知数，故不是一元二次方程. 所以一定是一元二次方程的有③⑤. 【答案】③⑤【巩固】下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ）ax2＋bx＋c＝0       B. x2＋1－x2＝0C.        D. x2－x－2＝02. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为            . 【巩固答案】D－1 【例2】若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝            .【例2】【解析】把x＝1代入x2＋3mx＋n＝0，得1＋3m＋n＝0，即3m＋n＝－1，则6m＋2n＝2(3m＋n)＝2×(－1)＝－2. 【答案】－2【巩固】把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数，一次项系数，常数项的值分别是（    ）1，－3，10       B. 1，7，－1C. 1，－5，12       D. 1，3，22. 若2是关于x的方程x2－(3＋k)x＋12＝0的一个根，求以2和k为两边长的等腰三角形的周长. 【巩固答案】A解：把x＝2代入原方程得4－2(3＋k)＋12＝0，解得k＝5.当以2为腰长时，等腰三角形的三边长分别为2，2，5，因为2＋2＜5，所以不能组成三角形，即此种情况不存在. 当以5为腰长时，等腰三角形的三边长分别为2，5，5，能够组成三角形. 所以等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12.  知识点二：直接开平方法解一元二次方程直接开平方法利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 方程x2＝p的根一般地，对于方程x2＝p.（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不相等的实数根x1＝－，x2＝；（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根. 【例3】用直接开平方法解下列方程：（1）x2－9＝0；      （2）3x2－54＝0；（3）(x＋2)2＝9；      （4）2(2y＋3)2－16＝0.  【例3】【解析】用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式再进行计算. 【答案】解：（1）移项，得x2＝9. 开平方，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3. （2）移项，得3x2＝54. 二次项系数化为1，得x2＝18. 开平方，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.（3）开平方，得x＋2＝±3，即x＋2＝3或x＋2＝－3.所以x1＝1，x2＝－5. （4）移项，得2(2y＋3)2＝16. 二次项系数化为1，得(2y＋3)2＝8. 开平方，得2y＋3＝，即2y＋3＝或2y＋3＝，所以y1＝，y2＝. 【巩固】若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值可以为       （写出一个即可）. 2. 用直接开平方法解下列方程：（1）2x2－8＝0；       （2）(y－5)2－36＝0. 【巩固答案】1（答案不唯一，合理即可）解：（1）移项，得2x2＝8. 二次项系数化为1，得x2＝4. 开平方，得x＝±2，即x1＝2，x2＝－2.（2）移项，得(y－5)2＝36. 开平方，得y－5＝±6，即y－5＝6或y－5＝－6，所以y1＝11，y2＝－1. 知识点三：配方法解一元二次方程配方法把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 可化为(x＋n)2＝p的形式的一元二次方程的根（1）当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不相等的实数根x1＝－－n，x2＝－n；（2）当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝－n；（3）当p＜0时，方程(x＋n)2＝p无实数根. 用配方法解一元二次方程的一般步骤（1）移项；（2）二次项系数化为1；（3）配方；（4）开平方；（5）求解 . 一般步骤方法例：2x2－7x＋3＝0一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边2x2－7x＝－3二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，即四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项、合并同类项，【例4】用配方法解下列方程：（1）x2－4x－1＝0；（2）；（3）2x2＋7x＋3＝0.    【例4】【解析】用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义开平方求解. 【答案】解：（1）移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋22，即(x－2)2＝5. 由此可得x－2＝±，所以x1＝2＋，x2＝2－. （2）移项，得x2－4x＝－5. 二次项系数化为1，得x2－16x＝－20.配方，得x2－16x＋82＝－20＋82，即(x－8)2＝44. 由此可得x－8＝，所以x1＝8＋2，x2＝8－2. （3）移项，得2x2＋7x＝－3. 二次项系数化为1，得. 配方，得，即. 由此可得，所以x1＝－3，x2＝. 【巩固】用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ）方程x2－6x－5＝0，可化为(x－3)2＝4方程y2－2y－2022＝0，可化为(y－1)2＝2022方程a2＋8a＋9＝0，可化为(a＋4)2＝25方程2x2－6x－7＝0，可化为用配方法解下列方程：（1）x2－6x－16＝0；（2）；（3）3x2－5x＋2＝0. 【巩固答案】D解：（1）移项，得x2－6x＝16. 配方，得x2－6x＋32＝16＋32，即(x－3)2＝25. 由此可得x－3＝±5，所以x1＝8，x2＝－2. （2）移项，得. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝99. 配方，得x2＋2x＋12＝99＋12，即(x＋1)2＝100.由此可得x＋1＝±10，所以x1＝－11，x2＝9. （3）移项，得3x2－5x＝－2. 二次项系数化为1，得. 配方，得，即.由此可得，所以x1＝1，x2＝.  知识点四：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式将ax2＋bx＋c＝0（a≠0）配方成后，可以看出，只有当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，这样b2－4ac的值就决定着一元二次方程根的情况. 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 判别式Δ与一元二次方程根的情况的关系：Δ＞0方程有两个不相等的实数根；Δ＝0方程有两个相等的实数根；Δ＜0方程无实数根. 【例5】一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是（    ）有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根无法判断【例5】【解析】由题可知，Δ＝4－4×3＝－8＜0，所以该一元二次方程没有实数根，故选C.【答案】C【巩固】若关于x的方程kx2＋2x＋1＝0有实数根，则实数k的取值范围是                 . 2. 已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝∣m∣.（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一根. 【巩固答案】k≤1. （1）证明：原方程可化为x2－5x＋6－∣m∣＝0，∴Δ＝(－5)2－4(6－∣m∣)＝1＋4∣m∣. ∵∣m∣≥0，∴1＋4∣m∣＞0，即Δ＞0. ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根. （2）解：把x＝1代入原方程，得∣m∣＝2，∴m＝±2. 当∣m∣＝2时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.∴方程的另一个根是4. 知识点五：公式法解一元二次方程求根公式解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可以写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式. 公式法利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 一元二次方程求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的过程. 推导过程如下：移项，得ax2＋bx＝－c.二次项系数化为1，得. 配方，得，即. 当b2－4ac≥0时，开方，得，所以.用公式法解一元二次方程的一般步骤（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出Δ＝b2－4ac的值；（3）根据求根公式求解. 【例6】用公式法解下列方程：（1）x2－3x－2＝0；（2）；（3）3x2＋2x＋7＝(x＋2)2. 【例6】【解析】按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解. 【答案】解：（1）a＝1，b＝－3，c＝－2. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0.方程有两个不相等的实数根. 即，. （2）方程化为x2－2x＋5＝0. a＝1，b＝－，c＝5. Δ＝b2－4ac＝()2－4×1×5＝0. 方程有两个相等的实数根. 即x1＝x2＝. （3）方程化为2x2－2x＋3＝0. a＝2，b＝－2，c＝3.Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×3＝－20＜0. 所以方程没有实数根. 【巩固】方程(x＋1)(x＋2)＝1化成一般形式是            ，b2－4ac＝      ，用求根公式可求得x1＝          ，x2＝          .2. 用公式法解下列方程：（1）x2＋4x－1＝0；（2）2x2－3x＋2＝0.  【巩固答案】x2＋3x＋1＝0    5        解：（1）a＝1，b＝4，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20＞0. 方程有两个不相等的实数根. 即x1＝，x2＝. （2）a＝2，b＝－3，c＝2. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×2＝－7＜0.所以方程没有实数根