2.6 应用一元二次方程 第1课时 数学北师大版九年级上册学案

6　应用一元二次方程第1课时【旧知再现】勾股定理：__a2＋b2__＝c2(a，b是直角三角形的两条直角边，c是斜边).【新知初探】阅读教材P52—P53完成下面问题：1．应用一元二次方程解决几何图形问题：(1)主要包括面积型问题和线段型问题．(2)线段型问题列方程的主要依据：线段的和差倍分关系或__勾股定理__．2．动点问题：设动点的运动时间为未知数，并用未知数表示运动路线的__长度__．3．列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审：审清题意，找出__等量关系__．(2)设：设出__未知数__，用所设的__未知数__表示其他未知量．(3)列：列一元二次方程．(4)解：解一元二次方程．(5)验：检验所求的解是否符合题意，确定__未知数__的值．(6)答：作答．【质疑判断】1．并不是所有的应用题都能通过列一元二次方程解决．(　√　)2．实际问题中的等量关系只能有一个．(　×　)3．列方程解决实际问题时，方程的解只要不是负数，就符合实际要求．(　×　)　应用一元二次方程解决几何图形问题【教材P53习题T2拓展】——应用一元二次方程解决动点问题　(2021·泰州质检)如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12 cm，AC＝8 cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，它们同时出发，设运动时间是t s(t＞0).(1)当t＝4时，求△APQ的面积．(2)经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【思路点拨】(1)当t＝4时，根据点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，AP＝4 cm，AQ＝4 cm，利用面积公式求解．(2)设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2t cm，CQ＝t cm，进而表示出AP＝(12－2t)cm，AQ＝(8－t)cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【自主解答】(1)∵点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，当t＝4时，BP＝2t＝8 cm，CQ＝t＝4 cm，∴AP＝4 cm，AQ＝4 cm，∴S△APQ＝×4×4＝8 cm2.(2)见全解全析【归纳提升】几何问题中常见的等量关系1．当题目中有直角三角形时，常借助勾股定理建立一元二次方程．2．当题目中涉及图形面积(体积)时，常通过图形的面积(体积)公式建立方程．变式一：巩固 直角三角形的面积为24，两直角边的和为14，则斜边长为(B)A．2    B．10    C．2    D．14变式二：提升  (2020·无锡模拟)如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠B＝60°，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动；它们的速度分别为2 cm/s和1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(s).当t为__或__s时，△PBQ为直角三角形．【火眼金睛】要在一个长10 m,宽8 m的院子中沿三边开辟出宽度相等的花圃,使花圃的面积等于院子面积的30%,试求花圃的宽度.【正解】设花圃的宽度为x m，由题意得：(10－2x)(8－x)＝10×8×(1－30%)解得：x1＝12，x2＝1，∵x＝12不合题意，应舍去；∴x＝1，∴花圃的宽度为1 m.【一题多变】　如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动，当P，Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时，求点P运动的时间．【解析】设当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时，点P运动了x s.根据题意得：×8×x＋×2x(6－x)＋×6(8－2x)＋＝6×8，化简得：2x2－10x＋＝0，解得：x1＝，x2＝.∵当x2＝时，8－2x＝－1＜0，∴x2＝舍去．答：当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时，点P经过了 s．【母题变式】　(变换条件和问法)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：(1)几秒时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)几秒时△PDQ的面积等于28 cm2.【解析】(1)设x s时△PBQ的面积等于8 cm2.则AP＝x cm，QB＝2x cm.∴PB＝(6－x)cm.∴×(6－x)×2x＝8，解得x1＝2，x2＝4.答：2 s或4 s时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)见全解全析关闭Word文档返回原板块