第2章 一元二次方程 复习课 数学北师大版九年级上册学案

单元复习课

第二章　一元二次方程

　一元二次方程及根的有关概念

在涉及方程类型的讨论时，常考查一元二次方程的二次项系数不为0这一条件．涉及方程的根的问题时，常考查代入法．

1．(2020·黑龙江中考)已知2＋是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是(B)

A．0    B．1    C．－3    D．－1

2．(2021·重庆质检)一元二次方程2y2－7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(A)

A．2，－3，－7    B．－2，－3，－7

C．2，－7，3    D．－2，－3，7

3．(2020·枣庄中考)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝__－1__.

方法·技巧

1．一元二次方程的三个条件：

(1)含有一个未知数．

(2)未知数的最高次数为2.

(3)整式方程．

2．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根，已知方程的根求值，只需把“根”代入原方程即可．

　【特别提醒】一元二次方程中的系数a，b，c是针对一般形式而言的，且包括前面的符号；当一元二次方程二次项系数含有字母时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件的成立．

　一元二次方程的解法

解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法．

1．(2020·营口中考)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为(D)

A．x1＝2，x2＝－3    B．x1＝－2，x2＝3

C．x1＝－2，x2＝－3    D．x1＝2，x2＝3

2．(2020·镇江中考)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为__x1＝0，x2＝2__．

3．(2020·威海中考)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为__x1＝2，x2＝__．

4．(2020·无锡中考)解方程：x2＋x－1＝0.

【解析】∵a＝1，b＝1，c＝－1，

∴Δ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，

∴x＝，

∴x1＝，x2＝.

方法·技巧

1．一元二次方程解法的选择顺序：

直接开平方法→因式分解法→公式法(配方法一般不用).

2．易错提醒：

(1)用因式分解法解一元二次方程，易出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误．

(2)用公式法解一元二次方程，在确定系数a，b，c时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式．

(3)对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，否则遗漏x＝0的情况．

　根的判别式及根与系数的关系

主要考查一元二次方程根的情况的判断及求方程中字母系数的值或范围．

1．(2020·雅安中考)如果关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是(C)

A．k≥    B．k≥－且k≠0

C．k≤且k≠0    D．k≤－

2．(2020·眉山中考)设x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两个实数根，则＋的值为____．

3．(2020·黄石中考)已知：关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根．

(1)求m的取值范围．

(2)设方程的两根为x1，x2，且满足(x1－x2)2－17＝0，求m的值．

【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根，

∴Δ＝()2－4×1×(－2)＝m＋8≥0，且m≥0，解得：m≥0.

(2)∵关于x的一元二次方程x2＋x－2＝0有两个实数根x1，x2，

∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－2，

∴(x1－x2)2－17＝(x1＋x2)2－4x1·x2－17＝0，即m＋8－17＝0，解得：m＝9.

方法·技巧

1．求一元二次方程中字母系数的值或范围，一般是根据①二次项系数不等于0，②根的判别式，③根与系数的关系，这三个方面的要求列方程或不等式求解．

2．易错提醒：(1)“方程有解”和“方程有两个解”对二次项系数是否可以为0要求不一样．

(2)一元二次方程有实数根和有两个不相等的实数根，对Δ的要求不一样．

(3)两根和“x1＋x2＝－”前面有负号，和两根积“x1x2＝”不一样．

　一元二次方程的应用

涉及一元二次方程的应用题有增长率问题、几何面积问题、经济销售问题和传播类问题四大类型

【典例】(10分)(2020·锦州中考)某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)该超市要想获得1 000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？

【规范解答】(1)设y＝kx＋b，将(25，110)，(30，100)代入，得2分

解得4分

∴y＝－2x＋160.5分

 (2)由题意，

得(x－20)(－2x＋160)＝1 000，6分

整理，得x2－100x＋2 100＝0，

解得x1＝30，x2＝70.8分

又∵每千克售价不低于进价，且不高于40元，即20≤x≤40，故x＝30.

答：该超市要想获得1 000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．10分

方法·技巧

1．求解后需要检验

(1)检验得到的解是否与实际情况相吻合．

(2)增长率大于0，降低率大于0且小于1.

2．善于挖掘题目中隐含的限制条件

如：“为了尽快消化库存”说明需要增大销量，“为了使购买者得到最大利益”说明降价幅度大等．

【跟踪训练】

1. (2020•济南中考)如图，在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126 m2，则修建的路宽应为__1__m.

2．(2020·通辽中考)有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了__12__个人．

3．(2020·上海中考)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.

(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额．

(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

【解析】(1)450＋450×12%＝504(万元).

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意，得：350(1＋x)2＝504，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).

答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.

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