2.6 应用一元二次方程 第2课时 数学北师大版九年级上册学案
展开6 应用一元二次方程
第2课时
【新知初探】 阅读教材P54—P55完成下面问题：
1．利润问题中常用的等量关系
(1)单件利润＝__单件售价__－单件成本．
(2)总利润＝__单件利润__×销售件数＝__总售价__－总成本．
(3)利润＝进价×利润率．
2．增长率方面的应用题
(1)公式：__a(1＋x)2＝b__或__a(1－x)2＝b__．
(2)意义：其中a表示增长(降低)前的数据，b表示后来得到的数据，x表示增长率或降低率，“＋”表示__增长__，“－”表示__降低__．
【质疑判断】
1．增长率不能是负数，且不能大于1.(×)
2．降低率不能大于1.(√)
3．增长率和降低率都不能是负数．(√)
列一元二次方程解利润问题
【教材P54例2补充】——利润问题的通性通法
(2021·太原期中)山西因特殊的地理环境，培育出了众多品质一流的特色杂粮．而山西小米以其突出的品质、品种优势，成为山西现代特色农业的一张“黄金名片”．某地一家杂粮销售商以每千克10元的价格购进一批山西“沁州黄”小米，当按每千克16元的价格出售时，平均每天可销售200 kg.为了尽快减少库存，该销售商决定降价销售，经调查发现，当每千克小米的售价每降低0.5元，平均每天销量可增加40 kg.该销售商要想每天获利1 400元，那么每千克小米的售价应为多少元？.
【完善解答】设每千克小米的售价应降x元，
设未知数
由题意得，__(16－x－10)＝1__400__，列方程
整理得，__2x2－7x＋5__＝0，解得__x1＝1，x2＝2.5__．解方程
∵为了尽快减少库存，
∴x＝__2.5__．验根
∴每千克小米的售价应为16－__2.5__＝__13.5__元．
答：每千克小米的售价应为__13.5__元．作答
【归纳提升】
列一元二次方程解决利润问题的三个关键
1．一个相等关系：单件利润×销售数量＝总利润．
2．两个量：单件利润、销售数量是较难表示的两个量．
3．三检验：列方程后检验每项意义、检验方程根求解是否正确、作答前检验根是否符合实际．
变式一：巩固 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售20箱，每箱盈利32元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱，若要保证盈利1 215元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程为(A)
A．(32－x)(20＋5x)＝1 215
B．(32＋x)(20＋5x)＝1 215
C．(32－x)(20－5x)＝1 215
D．(32＋x)(20－5x)＝1 215
变式二：提升 (2021·重庆期中)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元．
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
【解析】见全解全析
列一元二次方程解增长率问题
【教材P54例2补充】——解增长率问题的通性通法
(2020·湘西州中考)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24 200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率．
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【自主解答】(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20 000(1＋x)2＝24 200，
解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)24 200(1＋0.1)＝26 620(个).
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
【归纳提升】
平均增长率问题中常见的等量关系及注意事项
1．常见的等量关系：a(1__±x__)2＝b，其中a表示原数据，x表示增长(降低)率，b表示后来得到的数据．
2．两点注意：(1)解此类问题一般用两边__直接开平方__求解．
(2)增长(降低)率不能是负数，降低率要__小于__1.
变式一：巩固 (2021·衡阳模拟)某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)
A．168(1＋x)2＝128 B．168(1－x)2＝128
C．168(1－2x)＝128 D．168(1－x2)＝128
变式二：提升 (2021·湛江期末)某地地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
(2)按照(1)中收到捐款的增长率，第四天该单位能收到多少捐款？
【解析】见全解全析
【火眼金睛】
某工厂一月份的产量为25 t，第一季度的总产量为91 t，若二月、三月的平均增长率为x，可列方程为________．
【正解】由题意得，25＋25(1＋x)＋25(1＋x)2＝91.
答案：25＋25(1＋x)＋25(1＋x)2＝91
【一题多变】
某商店将进价为30元/件的商品按售价50元/件出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元/件？
【解析】设售价为x元/件，根据题意可得：
(x－30)[500－10(x－50)]＝12 000，解得：x1＝60，x2＝70，∵尽量减少库存，∴售价应为60元/件．
【母题变式】
(变换条件和结论)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加________件，每件商品，盈利________元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 000元？
【解析】(1)当天盈利：(50－3)×(30＋2×3)＝1 692(元).
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1 692元．
(2)∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．
答案：2x (50－x)
(3)见全解全析
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